A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyenek a háromszög csúcsai , , , továbbá jelölje a súlypontot , a magasságpontot pedig . Ismert, hogy a háromszög súlypontjának , illetve koordinátája a háromszög csúcspontjai , illetve koordinátáinak számtani közepe. Ennek alapján: | | A két egyenletből adódik: és . Mivel a magasságpont, ezért merőleges -re. Tekintsük a két vektor skaláris szorzatát, ami a merőlegesség miatt 0. A skaláris szorzatukat a következő módon írhatjuk fel a vektorok koordinátáival: . Ebből adódik, hogy . Összeadva a súlypont koordinátáit felíró két egyenlettel kapjuk, hogy , amiből következik, hogy . Vagyis és . Innentől a következő jelölést fogjuk használni: és . Hasonlóan -hoz és -hez, és is merőlegesek egymásra. Írjuk fel e két vektor skaláris szorzatát (amely szintén 0) a vektorok koordinátáival:
A súlypont koordinátáinak felírásából adódó egyenletből fejezzük ki -t: . Ezt írjuk be az imént kapott egyenletbe:
Ez egy másodfokú egyenlet -re. A megoldóképlet felhasználásával: vagy . Ha , akkor a másik két csúcs koordinátái: és . Ha , akkor ugyanazt a két pontot kapjuk, -t és -t felcserélve.
Megjegyzés. A legtöbben a honlapon található megoldás gondolatmenetét követték, melyben felezőpontját, majd az normálvektor segítségével a egyenesét írjuk fel, utána a köré írt kör középpontjának koordinátáit az Euler-egyenes segítségével határozzuk meg, majd a köré írt kör egyenletét felírva a kör és a egyenes metszéspontjainak koordinátáit számoljuk ki.
|