Feladat:	C.1369	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Erdődi Ádám Károly
Füzet:	2017/február, 87 - 88. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Euler-egyenes, C gyakorlat, Sokszögek súlypontjának koordinátái, Egyenesek egyenlete
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/szeptember: C.1369

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyenek a háromszög csúcsai $A\left(7;3\right)$, $B\left(b_1;b_2\right)$, $C\left(c_1;c_2\right)$, továbbá jelölje a súlypontot $S$, a magasságpontot pedig $M$. Ismert, hogy a háromszög súlypontjának $x$, illetve $y$ koordinátája a háromszög csúcspontjai $x$, illetve $y$ koordinátáinak számtani közepe. Ennek alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{7+b_1+c_1}{3}=\mathrm{5,}\text{illetve}\frac{3+b_2+c_2}{3}=-\frac{5}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ A két egyenletből adódik: $b_1+c_1=8$ és $b_2+c_2=-8$. Mivel $M$ a magasságpont, ezért $\overrightarrow{MA}\left(4;4\right)$ merőleges $\overrightarrow{BC}\left(c_1-b_1;c_2-b_2\right)$-re. Tekintsük a két vektor skaláris szorzatát, ami a merőlegesség miatt 0. A skaláris szorzatukat a következő módon írhatjuk fel a vektorok koordinátáival: $4\cdot \left(c_1-b_1\right)+4\cdot \left(c_2-b_2\right)=0$. Ebből adódik, hogy $\left(c_1+c_2\right)-\left(b_1+b_2\right)=0$. Összeadva a súlypont koordinátáit felíró két egyenlettel kapjuk, hogy $c_1+c_2=0$, amiből következik, hogy $b_1+b_2=0$. Vagyis $b_1=-b_2$ és $c_1=-c_2$. Innentől a következő jelölést fogjuk használni: $b_1=b$ és $c_1=c$. Hasonlóan $\overrightarrow{MA}$-hoz és $\overrightarrow{BC}$-hez, $\overrightarrow{CA}\left(7-c;3+c\right)$ és $\overrightarrow{BM}\left(3-b;b-1\right)$ is merőlegesek egymásra. Írjuk fel e két vektor skaláris szorzatát (amely szintén 0) a vektorok koordinátáival: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(7-c\right)\left(3-b\right)+\left(3+c\right)\left(b-1\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 21-7b-3c+bc+3b-3+bc-c}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle bc-2b-2c+9}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ A súlypont koordinátáinak felírásából adódó egyenletből fejezzük ki $c$-t: $c=8-b$. Ezt írjuk be az imént kapott egyenletbe: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle b\left(8-b\right)-2b-2\left(8-b\right)+9}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8b-b^2-2b-16+2b+9}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b^2-8b+7}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Ez egy másodfokú egyenlet $b$-re. A megoldóképlet felhasználásával: $b=1$ vagy $b=7$. Ha $b=1$, akkor a másik két csúcs koordinátái: $\left(1;-1\right)$ és $\left(7;-7\right)$. Ha $b=7$, akkor ugyanazt a két pontot kapjuk, $b$-t és $c$-t felcserélve.   Megjegyzés. A legtöbben a honlapon található megoldás gondolatmenetét követték, melyben $BC$ felezőpontját, majd az $\overrightarrow{MA}$ normálvektor segítségével a $BC$ egyenesét írjuk fel, utána a köré írt kör középpontjának koordinátáit az Euler-egyenes segítségével határozzuk meg, majd a köré írt kör egyenletét felírva a kör és a $BC$ egyenes metszéspontjainak koordinátáit számoljuk ki.