A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha a polinom konstans, akkor , így megfelelő választás. Megmutatjuk, hogy a kérdésre igenlő a válasz akkor is, ha a polinom legalább elsőfokú, amit a továbbiakban felteszünk. A bizonyításhoz felhasználjuk a komplex számkört és az algebra alaptételét. Konkrétan azt, hogy ha , akkor léteznek olyan komplex számok, melyekre | | (1) | teljesül, továbbá ez az ú.n. kanonikus alak az gyöktényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Világos, hogy a fenti számok a polinom gyökei, továbbá, mivel a polinom valós együtthatós, ha gyöke -nek, akkor annak is gyöke lesz, ráadásul e két gyök multiplicitása megegyezik, hiszen ha nem valós, akkor | | valós együtthatós polinomok hányadosaként maga is valós együtthatós. Ezért pontosan akkor létezik olyan valós együtthatós polinom, amelyre , ha az főegyüttható nemnegatív, valamint fenti kanonikus alakjában minden gyöktényező páros sokszor fordul elő. Az algebra alaptétele szerint tehát a kompozíciópolinom előáll | | (2) | alakban. Mivel , ezért fokszámaik megegyeznek: -é , -é pedig páros. Így is páros. Az is látszik a (2) alapján, hogy főegyütthatója , és ez megegyezik pozitív főegyütthatójával. Ezért . Mivel páratlan, innen adódik. Figyeljük meg továbbá, hogy kanonikus alakja megkapható úgy, hogy a (2) szorzatban minden nemkonstans tényezőt helyettesítünk az adott tényezőnek a gyöktényezőt tartalmazó kanonikus alakjával, azaz -t egy | | polinommal. A konstrukcióból világos, hogy , ezért esetén adódik. Azaz kanonikus alakjában egy gyöktényező előfordulásainak száma megegyezik az (1) kanonikus alakjában az előfordulásai számának és a polinom kanonikus alakjában az gyöktényező előfordulásai számának szorzatával. A azonosság miatt tehát minden ilyen gyöktényező páros sokszor fordul elő kanonikus alakjában. A feladat kérdésére adott igenlő válasz igazolásához elegendő megmutatni, hogy az (1) kanonikus alakban minden gyöktényező páros sokszor fordul elő. Ezt indirekt módon bizonyítjuk: tegyük fel, hogy valamely gyöktényező multiplicitása páratlan. Tekintettel arra, hogy a polinom fokszáma , és a azonosság miatt páros, a polinom fokszámának is párosnak kell lennie. Ez viszont azt jelenti, hogy az (1) kanonikus alakban a páratlan multiplicitású gyöktényezők száma páros. Létezik tehát egy gyök, amelyre az gyöktényező is páratlan sokszor fordul elő az (1) alakban. A fenti megfigyelésünk szerint tehát mind a , mind a polinomok kanonikus alakja olyan, hogy azokban minden gyöktényező páros sokszor fordul elő. Más szóval, léteznek olyan és polinomok, melyekre | | (3) | Ezek szerint
Azt kaptuk, hogy a bal oldalon található konstans előáll két polinom szorzataként, vagyis mind , mind konstans polinomok. Ekkor azonban ezek összege, is konstans polinom, tehát (3) alapján is konstans, ami ellentmond a kezdeti feltevésünknek. Ezzel pedig kétséget kizáróan igazoltuk a feladat kérdésére adott igenlő választ.
II. megoldás. Meg fogjuk mutatni, hogy a megadott feltételek mellett mindig létezik olyan valós együtthatós polinom, melyre . Ha , akkor , és így a polinom foka páros. Továbbá főegyütthatója pozitív, különben a -ben , és így határértéke is negatív lenne. Legyen tehát , ahol nemnegatív egész szám és . Megmutatjuk hogy léteznek olyan és valós együtthatós polinomok, melyekre és . Mivel egy ilyen polinom foka csak lehet, keressük -et alakban. Akkor kapunk megfelelő előállítást, ha -ben és -ben minden -re megegyezik együtthatója. Ha értékét sorrendben választjuk meg, akkor megfelelő választásával elérhető, hogy együtthatója egyezzen. Legyen ugyanis , ekkor együtthatója egyezik. Tegyük fel, hogy értékét már rögzítettük. Mivel -ben együtthatója , így | | választással együtthatója éppen lesz -ben is. Az így megválasztott -edfokú polinomra valóban -nél kisebb fokú lesz az polinom. Mivel , ezért | | Az polinom foka és fokának szorzata, és így kisebb, mint . Ha , akkor ebből az is következik, hogy a és polinomok foka is kisebb, mint . Ekkor viszont | | foka is -nél kisebb lenne, ami ellentmondás, hiszen . Mindez azt jelenti, hogy , és így .
Megjegyzés. Williams Kada megjegyzése nyomán könnyen látható, hogy az I. megoldás módszerével igazolható a kitűzött feladat azon általánosítása, mely szerint ha valamely valós együtthatós és polinomokra, illetve prímszámra teljesül, akkor van olyan valós együtthatós polinom, amelyre áll fenn.
|