Legyen $\text{H}$ a feladatban leírt tulajdonságú részhalmazok egy rendszere, és legyenek $A$ és $B$ a $\text{H}$ különböző tagjai. Tegyük fel, hogy az $A\cup B$ halmaz $k$ legkisebb eleme az $A$ halmazt alkotja. Tekintettel arra, hogy $|A\cup B|>k$, az $A\cup B$ halmaz legnagyobb eleme nem tartozik $A$-hoz. Ezért ez az elem $B$-hez tartozik, ilyenformán a $\text{H}$ halmazcsalád tagjainak legnagyobb elemei páronként különbözők. A $\text{H}$ halmazcsaládhoz tehát legfeljebb annyi halmaz tartozhat, mint ahányféle az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n$ hamaz egy $k$ elemű részhalmazának a legnagyobb eleme lehet. Világos, hogy az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}k-1$ számok egyike sem lehet egy ilyen $k$ elemű részhalmaz legnagyobb eleme, ezért a feladatban kérdezett részhalmazok száma legfeljebb a $\left\{k\mathrm{,}k+\mathrm{1,}\text{...}\mathrm{,}n\right\}$ halmaz számossága, azaz legfeljebb $n-\left(k-1\right)=n-k+1$ lehet.
Annak igazolására, hogy ez a felső korlát elérhető, elegendő azt észrevenni, hogy az $A_i:=\left\{j\in \text{N}:i\le j\le i+k-1\right\}$ halmazok rendelkeznek a feladatban leírt tulajdonsággal, ha $i\in \left\{\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n-k+1\right\}$. Ezzel pedig pontosan $n-k+1$ halmazt adtunk meg, a feladat kérdésére a válasz tehát $n-k+1$.