Feladat: B.4795 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csorba Benjámin ,  Fajszi Bulcsú ,  Kovács Benedek ,  Lakatos Ádám ,  Nagy Kartal ,  Solymosi Zsófia ,  Szabó Dávid ,  Szabó Kristóf ,  Szemerédi Levente ,  Várkonyi Dorka ,  Varsányi András ,  Weisz Máté 
Füzet: 2017/január, 23 - 24. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Logikai feladatok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2016/május: B.4795, 1960/november: 663. matematika gyakorlat, 1960/november: 1960. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 24. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az időt akkor nem tudjuk egyértelműen leolvasni erről az óráról, ha a kis- és nagymutató felcserélhető pozícióban van. Jelentse ekkor a két mutatónak a ,,12 órával'' bezárt szögét az ábra szerint rendre α és β, ahol 0∘<α,β<360∘. Mivel nem tudjuk megkülönböztetni az állásokat teljesül, hogy

12α=k⋅360∘+β,illetve12β=ℓ⋅360∘+α,
ahol 0≤k, ℓ<12 természetes számok.

 
 

Fejezzük ki β-t az első egyenletből és helyettesítsük a második egyenletbe:
β=12α-k⋅360∘,12(12α-k⋅360∘)=ℓ⋅360∘+α.
Ebből α, majd β kifejezhető a k és ℓ segítségével:
α=(12k+ℓ)⋅360∘143,β=(12ℓ+k)⋅360∘143.
A mutatók pozicíója összecserélhető, ha k≠ℓ. (Ha k=ℓ, akkor a két mutató fedi egymást és pontosan tudjuk, hogy mennyi az idő.)
A k és ℓ természetes számok, mindkettő 12 különböző értéket vehet fel (0≤k, ℓ<12), tehát összesen 144 lehetőség van. Ebből azonban ki kell vonni azt a 12 esetet, amikor k=ℓ. Az összes, kérdésben szereplő időpont száma tehát 144-12=132.
 
II. megoldás. Vegyünk egy olyan másik ‐ új ‐ órát, amelyik pontosan 12-szer gyorsabban jár, mint a feladatban szereplő óra, majd indítsuk el mindkét órát egyszerre 12:00-tól. Ekkor az új órán az órát jelző mutató ugyanolyan sebességgel jár, mint az eredeti órán a percet jelző mutató. Bennünket azok a helyzetek érdekelnek, amikor az eredeti órán az órát jelző mutató azonos pozícióban áll az új órának a percet jelző mutatójával (ugyanis ezek azok a helyzetek, amikor azonos perc- és óramutató esetén nem dönthető el, hogy a két változatból melyik a valóságos idő).
Amíg az eredeti órán az órát jelző mutató megtesz egy teljes kört, addig az új órán lévő percmutató 144 kört tesz meg, és mind a 144 alkalommal egyszer azonos helyzetben lesz e két mutató. Azonban 12 olyan alkalom is lesz, amikor a két órának mind a négy mutatója azonos helyzetbe kerül. E 12 alkalommal egyértelműen megállapítható az idő, ezért 144-12=132, olyan állása van a mutatóknak amikor nem állapítható meg egyértelműen az óránk által mutatott idő.
 

Megjegyzés. Nagyon sokan elfeledkeztek arról, hogy amikor egymáson van a két mutató, akkor a felcserélhetőség ellenére egyértelmű az idő.