Kezdőlap


Feladat:	B.4787	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Andó Angelika
Füzet:	2017/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Thalesz tétel és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/április: B.4787

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábra jelöléseit felhasználva a trapéz alapjai $A B = a$ , $C D = c$ , szárai $B C = b$ , $A D = d$ . Mivel derékszögű trapézról van szó, a trapéz magassága $m = d$ . A feladat állítása szerint

\begin{matrix} T_{A B C D} = \frac{b d}{2} . \end{matrix}

A trapéz területképletét használva:

\begin{matrix} T_{A B C D} = \frac{a + c}{2} \cdot m = \frac{a + c}{2} \cdot d = \frac{b d}{2} . \end{matrix}

Tehát

a + c = b

Legyenek

F

és

G

b

és

d

szárak felezőpontjai. Ekkor

\begin{matrix} B F = F C = \frac{b}{2} = \frac{a + c}{2} . \end{matrix}

Mivel

F G

középvonal, így

F G = \frac{a + c}{2}

. Ez azt jelenti, hogy az

F

középpontú,

B C

átmérőjű Thalész-körön rajta van az

A D

szár felezőpontja, a

G

pont. Mivel a trapéz derékszögű, a középvonal merőleges az

A D

szárra, így ez érintője a Thalész-körnek a

G

pontban.
A

G

pontból a másik szár derékszögben látszik, az

A D

szár többi pontja viszont a körön kívül van, így azokból a másik szár

90^{\circ}

-nál kisebb szög alatt látszik.
Tehát a keresett pont a merőleges szár felezőpontja, a

G

pont.