Feladat:	B.4788	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Somogyi Pál
Füzet:	2016/december, 537. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/április: B.4788

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A második egyenletet az elsőből kivonva, majd rendezve és szorzattá alakítva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2-x^3+y^3-y^2}& {\displaystyle =x-y\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x^2-y^2\right)-\left(x^3-y^3\right)-\left(x-y\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x-y\right)\left(x+y-x^2-xy-y^2-1\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ A szorzat pontosan akkor nulla, ha egyik tényezője nulla. 1. eset: $x-y=0$, azaz $x=y$. Az első egyenletbe (illetve a két azonossá váló egyenlet bármelyikébe) behelyettesítve és rendezve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2+x^3}& {\displaystyle =x+\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x+1\right)\left(x^2-1\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Ebből $x_1=y_1=1$ és $x_2=y_2=-1$. 2. eset: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y-x^2-xy-y^2-1=0.}\end{array}$ Az $x$-re fölírt $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+\left(y-1\right)x+\left(y^2-y+1\right)=0}\end{array}$ másodfokú egyenlet diszkriminánsa: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(y-1\right)}^2-4\left(y^2-y+1\right)=-3y^2+2y-3=-3{\left(y-\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{8}{3}<\mathrm{0,}}\end{array}$ ezért ebben az esetben nem kapunk megoldást.