Kezdőlap


Feladat:	B.4798	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Zoltán
Füzet:	2016/december, 540. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Középponti és kerületi szögek, Húrnégyszögek, Terület, felszín, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/május: B.4798

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a két átló metszéspontja $E$ , és $E D A ∢ = α$ . Ekkor, mivel a $D A E$ háromszög derékszögű, $D A E ∢ = 90^{\circ} - α$ . A kerületi és középponti szögek tétele alapján az $E D A$ és $D A E$ kerületi szögekhez tartozó középponti szögekre $B K A ∢ = 2 α$ , továbbá $D K C ∢ = 180^{\circ} - 2 α$ .

Forgassuk el a

K

középpont körül az

A K B

háromszöget úgy, hogy a

B

pont a

C

pontba kerüljön. Mivel

2 α + (180^{\circ} - 2 α) = 180^{\circ}

, így a forgatással keletkezik egy

A' C D

háromszög. Ebben a háromszögben

D K = C K = A' K

a kör sugara, tehát

K

felezési pont, vagyis

C K

súlyvonal. A súlyvonal két egyenlő területű háromszögre bontja az

A' C D

háromszöget, továbbá a forgatás egybevágósági transzformáció; ezzel be is láttuk, hogy a megfelelő területek egyenlők:

\begin{matrix} T_{C D K} = T_{A' C K} = T_{A B K} . \end{matrix}