Feladat:	B.4776	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nagy Kartal
Füzet:	2016/december, 534. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tengely körüli forgatás, Poliéderek egybevágósága, Szabályos testek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/február: B.4776

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel tengely körüli forgatásnál pontosan a tengely pontjai fixek, és az oktaéder $K$ középpontja is fix, a lehetséges tengelyek illeszkednek az oktaéder középpontjára. Így minden ilyen tengely az oktaéder felszínét pontosan két ($K$-ra szimmetrikusan elhelyezkedő) $P$ és $P\text{'}$ pontban metszi. Három esetet különböztetünk meg aszerint, hogy ez a két pont csúcs, egy-egy él belső pontja, vagy egy-egy lap belső pontja. 1. eset, ha $P$ csúcs. Ilyen egyenesből összesen három van, a szemközti csúcspárokat összekötő egyenesek. Az ezekre vonatkozó ${90}^{\circ }$-os forgatások megfelelőek. Ezt elegendő a csúcsokra leellenőrizni: $P$ és $P\text{'}$ fixen maradnak, a maradék négy csúcs pedig éppen egy négyzet négy csúcsa, amin a $PP\text{'}$ egyenes körüli ${90}^{\circ }$-os forgatás a négyzet középpontja körüli ${90}^{\circ }$-os forgatásként hat, vagyis a csúcsok tényleg ciklikusan egymás képei. 2. eset, ha $P$ egy $AB$ él belső pontja. Az $AB$ él elforgatott képe szintén egy él. Továbbá mivel $P$ a forgatás során fix, az $AB$ él forgatott képe is illeszkedik $P$-re. Ez csak úgy teljesülhet, ha $AB$ képe önmaga, így $A$ elforgatott képe $B$ (mivel $A$ nem lehet fix). Ebből következik, hogy $P$ szükségképpen az $AB$ él felezőpontja. Két szemközti élfelező pontot összekötő egyenesből $6$ darab van, minden ezekre vonatkozó ${180}^{\circ }$-os forgatás megfelelő. Valóban, a $P$-t tartalmazó $AB$, illetve a $P\text{'}$-t tartalmazó $A\text{'}B\text{'}$ élek végpontjait a forgatás felcseréli, míg a maradék két csúcsot összekötő szakasz $PP\text{'}$-t merőlegesen metszi $K$-ban, így a forgatás ezt a két csúcsot is egymásba viszi. 3. eset, ha $P$ az $ABC$ szabályos háromszöglap belső pontja. A 2. esethez hasonlóan látható, hogy az $ABC$ háromszög elforgatott képe szükségképpen önmaga. Mivel az $ABC$ csúcsai nem fixek, így két eset lehet: $A\text{'}=B$, $B\text{'}=C$ és $C\text{'}=A$; vagy $A\text{'}=C$, $C\text{'}=B$ és $B\text{'}=A$. Mindkét esetben a $P$ fix pont szükségképpen mindhárom csúcstól egyenlő távolságra esik, vagyis $P$ az $ABC$ lap középpontja. Szemközti lapok középpontjait összekötő egyenesből $4$ darab van, az ezekre vonatkozó ${120}^{\circ }$-os forgatások megfelelőek. Valóban, a $PP\text{'}$ tengely az $ABC$ lapot merőlegesen metszi, ezért a ${120}^{\circ }$-os $PP\text{'}$ körüli forgatás $ABC$ síkjában egy $P$ körüli ${120}^{\circ }$-os forgatásként hat, vagyis $A$, $B$ és $C$ csúcsokat egymásba viszi. A szemköztes lapon hasonlóan érvelhetünk. Összesen $13$ darab megfelelő tengely létezik.