Feladat:	B.4783	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bukva Balázs
Füzet:	2016/november, 475 - 476. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Klasszikus valószínűség
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/március: B.4783

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás.1 A szimmetria miatt a $B$ és $D$ csúcsok esetében a keresett valószínűség ugyanakkora, ezt a közös értéket jelölje $p$, a $C$ csúcs esetén pedig a valószínűség legyen $q$. Könnyen belátható, hogy a bolha 1 valószínűséggel előbb-utóbb minden csúcsra eljut, és így $2p+q=1$. Ugyanis 3 egymást követő ugrás során $1/4$ valószínűséggel végig egyforma irányba megy ‐ és ily módon minden csúcsot meglátogat ‐, ezért annak a valószínűsége, hogy $3k$ ugrás után még nem járt mindenhol, legfeljebb ${\left(3/4\right)}^k$, ami tart a 0-hoz, ha $k\to \infty$. Most megmutatjuk, hogy $p=q$, ehhez annak a valószínűségét vizsgáljuk meg, hogy $C$ lesz az utolsóként meglátogatott csúcs. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy az első ugrás után $B$-ben van. Azt kell meghatároznunk, mekkora valószínűséggel jut el innen előbb $D$-be, mint $C$-be. Ha $D$-be még $C$ előtt jut el, akkor közben $A$-ban is járnia kell, vagyis pont azok az ugrás-sorozatok teljesítik a feltételt, amelyeknél a $B$-ből induló ugrás-sorozat során $C$-be, vagyis egy szomszédos csúcsba jut el utoljára. A szimmetria miatt ennek a valószínűsége $p$, ezért valóban $q=p$. Tehát $p=q=1/3$, vagyis a keresett valószínűség mindhárom csúcs esetén $1/3$.   II. megoldás. Annak az esélye, hogy $B$ lesz az utolsó, ugyanannyi, mint annak, hogy $D$, mivel a négyzet szimmetrikus az $AC$ átlóra. Nézzük, mennyi annak az esélye, hogy a $D$ csúcs az utolsó. Ehhez az szükséges, hogy először a $B$-re lépjen, azután pedig ugráljon az $A$ és a $B$ között, majd egyszer lépjen $C$-re. Ekkor biztos, hogy a $D$ csúcs lesz az utolsó (ha feltehetjük, hogy egyszer véget ér az ugrálás ‐ ennek bizonyítását lásd az I. megoldásban). Tehát a lehetséges utak így néznek ki: $A-B-C-\text{...}\mathrm{,}$ $A-B-A-B-C-\text{...}\mathrm{,}$ $A-B-A-B-A-B-C-\text{...}\mathrm{,}$ $\text{...}$ . Ezek valószínűsége rendre: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\mathrm{,}{\left(\frac{1}{2}\right)}^4={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\mathrm{,}{\left(\frac{1}{2}\right)}^6={\left(\frac{1}{4}\right)}^3\mathrm{,}}\end{array}$ majd ugyanúgy mindegyik az előzőnek az ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$-szerese. Ezen valószínűségek összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{4}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+{\left(\frac{1}{4}\right)}^3+\text{...}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n=\frac{\frac{1}{4}\cdot \left({\left(\frac{1}{4}\right)}^n-1\right)}{\frac{1}{4}-1}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $n\to \infty$ esetén ${\left(\frac{1}{4}\right)}^n\to 0$, ezért a valószínűségek összegének határértéke $n\to \infty$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\frac{1}{4}\cdot \left(0-1\right)}{\frac{1}{4}-1}=\frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Ugyanígy $\frac{1}{3}$ annak a valószínűsége, hogy a $B$ csúcs az utolsó. Így a $C$ csúcsra jutó valószínűség $P_C=1-P_B-P_D=1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$.   Megjegyzés. Néhányan egyenletet írtak fel pl. $P_D$-re. Ha a bolha az $A$ csúcsból a $D$-re ugrik, akkor biztosan nem a $D$ az utolsó. Ha a $B$-re ugrik és utána a $C$-re, akkor már biztosan a $D$ az utolsó. Ha a $B$ után visszaugrik az $A$-ra, akkor onnantól számítva ismét $P_D$ a valószínűség. Ezt összeadva: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_D=\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot P_D\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{4}{P}_D=\frac{1}{4}\text{és így}{P}_D=\frac{1}{3}}\end{array}$ következik. 1A www.komal.hu oldalon található megoldás. A feladatok megoldása általában pár nappal a határidő után honlapunkon megtalálható.