Feladat:	B.4753	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berta Csaba Zsolt ,  Kerekes Anna
Füzet:	2016/november, 474 - 475. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenlőtlenségek, Súlyozott közép
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/december: B.4753

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel $x>0$, a bal oldal azonosan átírható úgy, hogy az összes elsőfokú kifejezés szorzata közös gyökjel alatt szerepeljen: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{2x\sqrt[]{\left(2x+1\right)\sqrt[]{\left(2x+2\right)\sqrt[]{2x+3}}}}=\sqrt[16]{{\left(2x\right)}^8\cdot {\left(2x+1\right)}^4\cdot {\left(2x+2\right)}^2\cdot \left(2x+3\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ A gyökjel alatt 15-tényezős szorzat szerepel. A szorzat értéke nem változik, ha 16-odik tényezőként még az 1-et is hozzávesszük. Ezután már alkalmazhatjuk a számtani és mértani közép közötti jól ismert egyenlőtlenséget, hozzátéve azt is, hogy szigorú egyenlőtlenség fog teljesülni, mivel a számok biztosan nem lehetnek mind egyenlők (pl. $2x<2x+1$): ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sqrt[16]{{\left(2x\right)}^8\cdot {\left(2x+1\right)}^4\cdot {\left(2x+2\right)}^2\cdot \left(2x+3\right)\cdot 1}<}\hfill \\ \hfill {\displaystyle <\frac{8\left(2x\right)+4\left(2x+1\right)+2\left(2x+2\right)+2x+3+1}{16}=\frac{30x+12}{16}=\frac{15x+6}{8}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát valóban $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{2x\sqrt[]{\left(2x+1\right)\sqrt[]{\left(2x+2\right)\sqrt[]{2x+3}}}}<\frac{15x+6}{8}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. Amennyiben a bal oldalon az utolsó tényezőt, a $2x+3$-at úgy bontjuk szorzattá, hogy $2\left(x+\mathrm{1,5}\right)$, akkor a számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenség használatával az erősebb $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[16]{{\left(2x\right)}^8\cdot {\left(2x+1\right)}^4\cdot {\left(2x+2\right)}^2\cdot \left(x+\mathrm{1,5}\right)\cdot 2}<\frac{29x+\mathrm{11,5}}{16}=\frac{\mathrm{14,5}x+\mathrm{5,75}}{8}<\frac{15x+6}{8}}\end{array}$ becslés adódik.