Feladat:	B.4752	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Polgár Márton
Füzet:	2016/november, 473 - 474. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Középponti és kerületi szögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat, Háromszögek hasonlósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/december: B.4752

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $A$, $D$ és $P$ pontok háromszöget alkotnak, különben $AD$ érintő egyenese lenne a két körnek, ám ekkor az $AB$ és $CD$ húrok ponttá fajulnának. Az 1. ábra jelöléseit használva legyen $PAD\sphericalangle =\alpha$ és $ADP\sphericalangle =\beta$, az $E$ és $F$ pontok pedig legyenek rendre a $k_1$ és $k_2$ kör pontjai abban az $AD$ egyenes által határolt félsíkban, amely nem tartalmazza a $P$ pontot.   1. ábra   Ekkor az érintő szárú kerületi szögek tétele alapján $AEB\sphericalangle =\alpha$ és $CFD\sphericalangle =\beta$. Legyen $AB=CD=x$, a körök sugara pedig rendre $r_1$ és $r_2$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =\frac{x}{{2r}_1}\text{és}\text{sin}\beta =\frac{x}{{2r}_2}\mathrm{.}}\end{array}$ Írjuk fel a szinusztételt az $APD$ háromszögben: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{PA}{PD}=\frac{\text{sin}\beta }{\text{sin}\alpha }=\frac{\frac{x}{{2r}_2}}{\frac{x}{{2r}_1}}=\frac{r_1}{r_2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az érintőszakaszok hosszának aránya tehát egyenlő az érintett körök sugarának arányával.   Megjegyzés. A megoldás során sokan elkövették azt a hibát, hogy nem minden elhelyezkedést vettek figyelembe, például a 2. ábrán látható elhelyezkedéssel nem foglalkoztak. Így sokszor olyan összefüggéseket írtak fel a szögekre, amelyek ebben az esetben nem teljesülnek (bár kis változtatással itt is igazak lennének). Ezért a hibáért egy pont levonás járt.   2. ábra