A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Gáspár Attila megoldása. Rajzoljunk egy olyan nagy kört, ami az összes szakaszt tartalmazza a belsejében. Hosszabbítsuk meg az összes szakaszt úgy, hogy a végpontjaik a körre kerüljenek. Két szakasz legfeljebb egy pontban metszheti egymást, ezért nem jön létre új metszéspont, tehát a hosszabbítás semmit nem befolyásol. Nevezzük a szakaszvégpontokat belépési és kilépési pontoknak attól függően, hogy indul-e belőle béka, vagy nem. Nyilvánvaló, hogy db belépési és db kilépési pont van. Tegyük fel, hogy a körön van két szomszédos belépési pont. Az 1. ábrán látható, a két szakasz metszéspontig tartó részei és a köztük lévő, más pontot nem tartalmazó körív által határolt alakzat legyen . Látható, hogy mindegyik szakasz (az -et határoló szakaszokat kivéve) 0 vagy 2 pontban metszi az határvonalát, mert az konvex. A körívet egyik sem metszi, ezért mindegyik a két szakaszt fogja metszeni. A két -et határoló szakaszon így ugyanannyi metszéspont lesz, ez legyen . Mivel , ezért ugrás után a két béka összeütközik. Ez ellentmondás, tehát nem lehet két szomszédos belépési pont. Ha a békák helyett -szer ugranak, akkor a kilépési pontokba érkeznek. Ilyenkor nem történhet ütközés, ezért ez nem módosítja a feladatot. Nyilvánvaló, hogy ha a békák nem ütköztek, akkor a kilépési pontokból indulva sem ütköznének, ekkor a lépéssorozat visszafelé játszódna le. Ebből következik, hogy nem lehet két szomszédos kilépési pont. Így a körön lévő pontok felváltva kilépési és belépési pontok.
1. ábra Válasszunk ki egy végpontot, és legyen belépési pont. A többi végpont felváltva legyen kilépési és belépési pont. Egy tetszőleges szakaszt az összes többi metsz, ezért a két oldalán ugyanannyi végpont van. Összesen végpont van, ezért egy oldalon db van. Ez páros, ezért a szakasz végpontjai különböző típusúak (2. ábra).
2. ábra Tegyük fel, hogy van két béka, ami összeütközik. Legyen a 3. ábrán látható, a két szakasz metszéspontig tartó részei és a két belépési pontot összekötő, a két szakasz kilépési pontját nem tartalmazó körív által határolt alakzat . Az konvex, ezért minden szakasz 0 vagy 2 pontban metszi az határvonalát. A két béka ütközik, ezért a két szakasz határvonalán ugyanannyi metszéspont van. A köríven páratlan számú végpont van, mert két belépési pont között vannak. Így összesen páratlan számú pontban metszik a szakaszok az határvonalát. Ez ellentmondás, tehát a békák nem ütköznek.
3. ábra Tegyük fel, hogy lehetséges. Egy szakasz egyik oldalán végpont van. Ez páratlan, ezért a szakasz két végpontja ugyanolyan típusú. Ez ellentmondás (4. ábra).
4. ábra |
|