Feladat:	2016. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Nagy Kartal
Füzet:	2016/november, 452 - 453. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Magasabb fokú egyenletek, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/szeptember: 2016. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 22. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Nagy Kartal megoldása. Első lépésként belátjuk, hogy $k>2015$. Ha kevesebb, mint 2016 lineáris faktort törölnénk ki, akkor lesz egy lineáris faktor ami mindként oldalon fog szerepelni. Legyen ez az $\left(x-i\right)$ lineáris faktor. Ekkor $i$ gyöke lesz az egyenletnek, hiszen ekkor mindkét oldal 0 lenne. Most pedig megmutatjuk, hogy $k=2016$-ra van megoldás. Legyen ez az egyenlet: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)\left(x-8\right)\left(x-9\right)\cdots \left(x-2013\right)\left(x-2016\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-6\right)\left(x-7\right)\cdots \left(x-2011\right)\left(x-2014\right)\left(x-2015\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Most nézzük a két oldalt mint két függvényt. Legyen a bal oldal $g\left(x\right)$, a jobb oldal $f\left(x\right)$. Azt fogjuk belátni, hogy minden $x$-re $f\left(x\right)>g\left(x\right)$. Ezt esetenként vizsgáljuk. 1. Ha $x<1$, akkor mindkét oldal pozitív lesz, így elég azt nézni, hogy $f\left(x\right)$ abszolút értéke nagy lesz $g\left(x\right)$-nek. Bontsuk részekre a függvényeket és hasonlítsuk azok alapján össze: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\left(x-\left(4m+1\right)\right)\left(x-\left(4m+4\right)\right)\right|<\left|\left(x-\left(4m+2\right)\right)\left(x-\left(4m+3\right)\right)\right|\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt átírhatjuk erre az alakra: $Y\left(3+Y\right)<\left(1+Y\right)\left(2+Y\right)$. A kibontás után látszik, hogy a jobb oldal valóban nagyobb, vagyis $g\left(x\right)$ tagjai párosíthatók $f\left(x\right)$ tagjaival úgy, hogy mindig az $f\left(x\right)$-es tag legyen a nagyobb. Vagyis ezen az intervallumon $f\left(x\right)>g\left(x\right)$. 2. Ha $x>2016$, akkor hasonló módon végigvihető, hogy $f\left(x\right)>g\left(x\right)$. 3. Ha $1\le x\le 2016$.  $\phantom{3.}$ $a)$ Ha $x$ egész és $4m$ vagy $4m+1$ alakú, akkor $g\left(x\right)=0$, $f\left(x\right)>0$.  $\phantom{3.}$ $b)$ Ha $x$ egész és $4m+2$ vagy $4m+3$ alakú, akkor $g\left(x\right)<0$, $f\left(x\right)=0$.  $\phantom{3.}$ $c)$ Ha $2m>x>2m-1$, akkor $g\left(x\right)$ negatív, $f\left(x\right)$ pozitív.  $\phantom{3.}$ $d)$ Ha $4m<x<4m+1$, akkor mindkét függvény pozitív. Vagyis az kell, hogy $|f\left(x\right)|>|g\left(x\right)|$. Itt is bontsuk részekre a függvényeket: ${\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle f_1\left(x\right)}& {\displaystyle =\left(x-2\right)\left(x-3\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle f_2\left(x\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle =\left(x-6\right)\left(x-7\right)\mathrm{,}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \text{...}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle g_1\left(x\right)}& {\displaystyle =\left(x-1\right)\left(x-4\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle g_2\left(x\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle =\left(x-5\right)\left(x-8\right)\mathrm{,}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \text{...}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Itt is könnyen belátható, hogy $f_i\left(x\right)>g_i\left(x\right)$. Vagyis itt is igaz, hogy $f\left(x\right)>g\left(x\right)$.  $\phantom{3.}$ $e)$ Ha $4m+2<x<4m+3$, akkor mindkét függvény negatív, ezért azt kell belátni, hogy $|f\left(x\right)|<|g\left(x\right)|$. A részekre bontás itt így fog kinézni: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f_1\left(x\right)}& {\displaystyle =\left(x-2\right)\mathrm{,}{f}_2\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x-6\right)\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle f_{1008}\left(x\right)=\left(x-2011\right)\left(x-2014\right)\mathrm{,}{f}_{1009}\left(x\right)=\left(x-2015\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle g_1\left(x\right)}& {\displaystyle =\left(x-1\right)\mathrm{,}{g}_2\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(x-5\right)\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle g_{1008}\left(x\right)=\left(x-2012\right)\left(x-2013\right)\mathrm{,}{g}_{1009}\left(x\right)=\left(x-2016\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Itt könnyen belátható, hogy $f_i\left(x\right)<g_i\left(x\right)$. Vagyis igaz, hogy $|g\left(x\right)|>|f\left(x\right)|$, azaz $f\left(x\right)>g\left(x\right)$. Ezzel beláttuk, hogy a jobb oldal mindig nagyobb, mint a bal oldal, azaz nem lesz gyöke az egyenletnek. A megoldás: $k=2016$.