A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Baran Zsuzsanna megoldása. Be fogjuk látni, hogy a legkisebb ilyen pozitív egész a . A feladat az, hogy minél kevesebb szomszédos pozitív egész számot kell találnunk úgy, hogy azok közül mindegyik -jének legyen közös prímosztója valamelyik másik elem -jével. Ehhez megvizsgáljuk, hogy közeli számok -jeinek milyen közös prímosztója lehet, azaz hogy adott kicsi pozitív egész -ekre milyen prímre lehet és ( pozitív egész). Az , 2, 3 és 4-et fogjuk megvizsgálni. Először is, mivel páros, ezért mindig páratlan, így nem lehet 2. -re:
Azaz -nek és -nek nem lehet közös prímosztója. -re:
Így csak akkor lehetséges és , ha és , így . Ilyenkor tényleg fennáll az oszthatóság: . -ra:
Így csak a jöhet szóba. Ekkor , de , így az jó, de más nem. Tehát és közös prímosztója csak a 3 lehet, mégpedig ha . -re:
Így csak a , , azaz jöhet szóba. Ez megfelelő is: . Tehát és közös prímosztója csak a 19 lehet, mégpedig ha . Most az eddigiek alapján próbáljunk létrehozni egy megfelelő 6 elemű halmazt. Szeretnénk egy olyan -t találni, hogy -nek és -nek, -nek és -nek, illetve -nak és -nak legyen közös prímosztója. Legyen és , és (ennek a kínai maradéktétel szerint van pozitív egész megoldása). Ekkor , így , míg , így , végül , így . Így a fenti mellett a halmaz mindegyik eleméhez található egy másik elem, amivel van közös prímosztója, azaz a halmaz illatos. Tegyük fel, hogy van kisebb megfelelő is, azaz létezik pozitív egész, amihez létezik pozitív egész, hogy illatos. Nem lehet vagy , mert relatív prím -hez és -hoz is. Nem lehet , mert akkor relatív prím -hez és -hoz, így -gyel kell közös prímosztója legyen, ami csak a 7 lehet ( és közös prímosztója csak a 7 lehet). Hasonlóan -nak -gyel kell közös prímosztója legyen, de ez is csak a 7 lehet. Ez viszont azt jelentené, hogy és egyaránt oszthatóak 7-tel, ami ellentmondás. Nem lehet sem, mert akkor relatív prím a szomszédjaihoz, így -gyel vagy -tel kell közös prímosztója legyen, ez a prímosztó pedig csak a 7 lehet. Ha , akkor . Eközben relatív prím a szomszédjaihoz és mivel nem osztható 7-tel, ezért relatív prím -hez is. Ekkor -tel kell közös prímosztója legyen, ami viszont csak a 3 lehet ( és közös prímosztója csak a 3 lehet). Hasonlóan -nek -gyel kell közös prímosztója legyen, ami viszont szintén csak a 7 lehet. Ekkor azonban és , ami ellentmondás. Tehát mégsem lehet , a legkisebb megfelelő szám a . |