Feladat:	B.4782	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kerekes Anna
Füzet:	2016/október, 409 - 410. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Exponenciális egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/március: B.4782

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A jobb áttekinthetőség érdekében legyen $2^x=a$, $3^x=b$ és $5^x=c$. Ezekkel a jelölésekkel a megoldandó egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3+b^3+2abc+a{b}^3+a^{2}bc=a^{2}b+a{b}^2+a^{2}c+a^{3}b+b^{2}c+a{b}^{2}c\mathrm{.}}\end{array}$ A jobb oldalt nullára rendezzük és a tagok átcsoportosítása után szorzattá alakítjuk a bal oldalt: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a^3-a^{2}b+b^3-a{b}^2-a^{2}c+2abc-b^{2}c+a{b}^3-a^{3}b+a^{2}bc-a{b}^{2}c}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)-c{\left(a-b\right)}^2-ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)+abc\left(a-b\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Most kiemelhető az $\left(a-b\right)$, és folytatható a tagok csoportosítása: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(a-b\right)\left(a^2-b^2-c\left(a-b\right)-ab\left(a+b\right)+abc\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)-ab\left(a+b-c\right)\right]}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(a-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b-ab\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Visszatérve a betűk eredeti jelentéséhez és felhasználva, hogy egy szorzat akkor és csak akkor lehet nulla, ha valamelyik tényezője nulla, a következő eseteket kell megvizsgálni: $i)$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^x-3^x=0\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^x=1\text{(mivel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow><mo>≠</mo><mn>0</mn></math>).}}\end{array}$ Tudjuk, hogy az $x\mapsto {\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ függvény szigorúan monoton növekedő, így pontosan egyszer veszi fel az $1$ értéket, $x=0$ esetén. $ii)$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^x+3^x-5^x=0\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^x+{\left(\frac{3}{5}\right)}^x=1\text{(mivel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>5</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow><mo>≠</mo><mn>0</mn></math>).}}\end{array}$ Az $x\mapsto {\left(\frac{2}{5}\right)}^x$ és $x\mapsto {\left(\frac{3}{5}\right)}^x$ függvények szigorúan monoton csökkenőek. Emiatt az összegük, az $x\mapsto {\left(\frac{2}{5}\right)}^x+{\left(\frac{3}{5}\right)}^x$ függvény is szigorúan monoton csökkenő, így egyszer veheti fel az $1$ értéket, $x=1$ esetén pedig éppen $1$-et vesz fel. Ez a második megoldása az egyenletnek. $iii)$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^x-3^x-2^x\cdot 3^x=0\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^x-1=2^x\text{(mivel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msup></mrow><mo>≠</mo><mn>0</mn></math>).}}\end{array}$ Tudjuk, hogy az $x\mapsto {\left(\frac{2}{3}\right)}^x-1$ függvény szigorúan monoton csökkenő, az $x\mapsto 2^x$ függvény szigorúan monoton növekedő, tehát ennek az egyenletnek csak egy megoldása lehet, az $x=-1$ pedig megoldás. Az egyenletnek három megoldása van, $x=0$, $x=1$ és $x=-1$.   Megjegyzés. A legtöbben eljutottak odáig, hogy $2^x=3^x$, $2^x+3^x=5^x$ és $2^x=3^x+6^x$ valamelyikének teljesülnie kell. Sokan azonban ezeknél az egyenleteknél csupán a megoldást közölték, és nem indokolták meg, más megoldás miért nem lehet ‐ ez egy pont levonását eredményezte. Szintén egy pont levonást jelentett, ha valaki a két oldalt $x$ függvényeként ábrázolta, és az ábráról leolvasta, hogy csak egy megoldás lehet ‐ ez sejtésnek jó lehet, de bizonyításnak kevés.