A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Lajkó Kálmán megoldása. Keressük meg az ilyen -es négyzeteket! Ha egy négyzetre van megfelelő kitöltés, akkor , ez nyilvánvaló. Azt se nehéz látni, hogy ha van egy -es négyzetre egy kitöltésünk, akkor minden -es négyzetre is, hiszen jó kitöltésű -es négyzetből -et egymásra lehet pakolni, ekkor a sorok és oszlopok nyilván eleget tesznek a feltételeknek, és az átlók is, mivel belátható, hogy ha egy átló hossza a -es négyzetben hárommal osztható, akkor az átlónak az egyes -es négyzetekkel vett metszetei is hárommal osztható hosszúságúak.
Érdemes kis négyzetekre az állítást kipróbálni, az esetre van kitöltés is, így már lehet tudni, hogy a -es négyzetekre mindig van kitöltés. Ezután megpróbáljuk belátni, hogy ha nem osztható kilenccel, de hárommal igen, akkor nem lehet kitölteni a négyzetet. Ezt indirekten csináljuk, tegyük fel, hogy ki lehet tölteni egy ilyen -s táblázatot, ahol nem osztható -mal. Erre a csomó betűre vonatkozó hárommal való oszthatóságot össze lehet adogatni, ki lehet vonni egymásból, az eredményre is igaz lesz hogy a betűk egyharmada I, M és O (ez ilyen egyenletrendszeres ötlet). Ezt úgy kell érteni, hogy ha többször van egy mező I betűje az összegben, akkor annyiszor adódik hozzá az I-k számához, vagy a kivonás miatt lehet hogy negatív sokszor szerepel az összegben, és ekkor ez levonódik az I-k számából. Az összegben tehát mezők betűi szerepelnek, egész sokszor, és az I-k, M-ek és O-k száma azonos.
Vegyük a táblázatunkat, adjuk össze az összes hárommal osztható átlót (vagyis hogy összesen hány I, M, O van bennük összesen), adjuk hozzá a 2.; 5.; 8.; ; -edik oszlopokat, és ebből vonjuk ki az összes az 1., 3., 4., 6. stb. sorokat, vagyis a nem -edik sorokat. Nézzük meg, hogy ebben hány darab I betű van. Az átlókból van hosszú, mindkét irányban, ezekben összesen darab I betű van. Az oszlopokban van , és ebből még le kell vonni a sorokban lévő I-k számát, ami . Ezeket összegezve, az I-k száma: , ami hárommal nem osztható. Viszont ha megnézzük, hogy az egyes mezőket hányszor számoltunk az összegben, akkor azt figyelhetjük meg, hogy a nem alakú sorokban lévő mezők pont kiesnek, és a visszamaradó mezőket mind háromszor számoltuk meg, a két átlóban és az oszlopokban, ezek a koordinátájú mezők. Ez azt jelenti, hogy az I-k száma az összegben hárommal osztható kell hogy legyen. Ez ellentmondás. |