Feladat:	B.4792	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2016/szeptember, 347. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Valós számok és tulajdonságaik, Számhalmazok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/április: B.4792

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az állítás igaz. Legyen $A=\left[A\right]\mathrm{,}{a}_1{a}_2{a}_3\text{...}$ a szám tizedestört alakja, ami szükségképpen végtelen. Az $A$ csupán véges sokszor szereplő számjegyei összes előfordulásainak száma véges, ezért van olyan $n$ index, ami után (minden $k\ge n$-re) mindegyik $a_k$ számjegy végtelen sokszor fordul elő a tizedesjegyek között. Ennek alapján hagyjuk el az $a_{n+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_{\ell }$ számjegyeket úgy, hogy $a_{\ell +1}=a_{n+1}$ legyen. Hasonlóan, elhagyhatjuk (az eredeti indexelést használva) $a_{\ell +2}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_v$-t úgy, hogy $a_{v+1}=a_{n+2}$ legyen, és így tovább. Mindegyik lépésben elhagytunk legalább egy tizedes jegyet, és a kapott szám tizedestört alakja ismét $\left[A\right]\mathrm{,}{a}_1{a}_2{a}_3\text{...}{a}_n{a}_{n+1}\text{...}\mathrm{.}$   Megjegyzés. Az állítás természetesen nem csak az irracionális számokra, hanem minden olyan racionális számra is igaz, amelynek a tizedestört alakja végtelen.