Feladat:	B.4755	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csuha Boglárka
Füzet:	2016/szeptember, 344 - 345. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Pont körre vonatkozó hatványa
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/december: B.4755

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az $ED$ egyenes $k_A$ körrel vett második metszéspontja legyen $S$, a $k_B$ körrel vett második metszéspontja pedig $R$. A $CA$ egyenes és a $k_A$ kör érintési pontja $P$, továbbá a $BC$ egyenes és a $k_B$ kör érintési pontja $Q$.     Külső pontból egy körhöz húzott érintő szakaszok egyenlő hosszúságúak, tehát a $C$ pontból a $k_A$ és $k_B$ körökhöz húzott érintőszakaszokra $\begin{array}{c}{\displaystyle CP=CD\text{ és }CQ=CE\mathrm{,}}\end{array}$ a két-két érintőszakasz összevetéséből pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle DQ=CD+CQ=PC+CE=EP\mathrm{.}}\end{array}$ Most felhasználjuk azt a tényt, hogy a külső pontból húzott érintőszakasz mértani közepe az ugyanebből a pontból húzott bármely szelőre illeszkedő két szelőszakasznak. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle E{P}^2=ED\cdot ES=ED\left(ED+DS\right)\mathrm{,}\text{illetve}D{Q}^2=ED\cdot DR=ED\left(ED+ER\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az érintőszakaszok egyenlőségét felhasználva már beláttuk, hogy $EP=DQ$, tehát ebből $DS=ER$ következik. Vagyis a $DE$ egyenes a két körből egyenlő hosszúságú szakaszokat metsz ki.