Feladat:	B.4745	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Somogyi Pál
Füzet:	2016/szeptember, 343 - 344. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Trigonometrikus egyenletek, Nevezetes egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/november: B.4745

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A nevezőben nem állhat nulla, így $\text{sin}{}^{2n}x\ne 0$, illetve $\text{cos}{}^{2n}x\ne 0$. Emiatt $x\ne k\cdot \frac{\pi }{2}$, $k\in \text{Z}$. A megoldáshoz nevezetes közepek alkalmazásával jutunk el. Osszuk el az egyenletet 2-vel, majd vegyük mindkét oldal reciprokát: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{\text{sin}{}^{2n}x}+\frac{1}{\text{cos}{}^{2n}x}}=\frac{1}{2^n}\mathrm{.}}\end{array}$ Azonnal látható, hogy a bal oldal így ${\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}$ alakú, vagyis a $\text{sin}{}^{2n}x$ és $\text{cos}{}^{2n}x$ pozitív számok harmonikus közepe. Most felhasználjuk a közepek között ismert $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt[]{ab}\le \frac{a+b}{2}}\end{array}$ relációkat: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^n}& {\displaystyle =\frac{2}{\frac{1}{\text{sin}{}^{2n}x}+\frac{1}{\text{cos}{}^{2n}x}}\le \sqrt[]{\text{sin}{}^{2n}x\cdot \text{cos}{}^{2n}x}=\sqrt[]{{\left(\text{sin}{}^{2}x\cdot \text{cos}{}^{2}x\right)}^n}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(\sqrt[]{\text{sin}{}^{2}x\cdot \text{cos}{}^{2}x}\right)}^n\le {\left(\frac{\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x}{2}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A közepeknél egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha $\text{sin}{}^{2}x=\text{cos}{}^{2}x$, vagyis $x=\left(2k+1\right)\frac{\pi }{4}$, ahol $k\in \text{Z}$.   Megjegyzés. Azt is beláttuk a közepek használatával, hogy az eredeti egyenlet bal oldala mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a jobb oldal.