Feladat:	B.4696	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Erdődi Ádám Károly
Füzet:	2016/szeptember, 343. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mértani közép, Harmonikus közép, Számelmélet
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/március: B.4696

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $2015=5\cdot 13\cdot 31$. Az, hogy $\sqrt[]{2015n}$ egész, ekvivalens azzal, hogy $2015n$ kanonikus alakjában minden prímhatvány páros kitevőn van. Ebből következik, hogy $n=2015k^2$ alakú, ahol $k$ pozitív egész szám. Tekintsük a harmonikus közepet. Felhasználva, hogy $n=2015k^2$, alakítsuk át a következő módon: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2}{\frac{1}{n}+\frac{1}{2015}}=\frac{2}{\frac{2015+n}{2015n}}=\frac{2\cdot 2015n}{2015+n}=\frac{2\cdot 2015\cdot 2015k^2}{2015+2015k^2}=\frac{2\cdot 2015k^2}{1+k^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha ez a szám egész, akkor a nevező osztja a számlálót: $1+k^2\mid 2\cdot 2015k^2$. Mivel $1+k^2$ és $k^2$ relatív prímek, ezért ez csak úgy teljesülhet, ha $1+k^2\mid 2\cdot 2015$. A $2\cdot 2015=2\cdot 5\cdot 13\cdot 31$ osztói: 1, 2, 5, 10, 13, 26, 31, 62, 65, 95, 130, 310, 403, 806, 2015, 4030. Ezek közül csak a 2, 5, 10, 26, 65 lesz $1+k^2$ alakú. Minden $k$-hoz tartozik egy $n$ érték, tehát összesen 5 darab ilyen $n$ van.