Feladat:	B.4688	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Katona Dániel
Füzet:	2016/szeptember, 342 - 343. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Feladat, Teljes indukció módszere
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/február: B.4688

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Kisebb esetekkel való számolással megsejthetjük, hogy páros sok emelet esetén: $2^{3^{2^{3^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{2^3}}}}}}}>3^{2^{3^{2^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{3^2}}}}}}}$. A bizonyításhoz használjuk a Lemmát, miszerint: $2^{3^n}>3^{2^{n-1}}$, ahol $n\ge 1$ egész szám. A Lemmát teljes indukcióval bizonyítjuk. Az állítás $n=1$-re igaz ($8>3$), ez az alapja az indukciónak. Tegyük fel, hogy $2^{3^k}>3^{2^{k-1}}$, ekkor bizonyítjuk, hogy $2^{3^{k+1}}>3^{2^k}$. Vegyük észre, hogy $2^{3^{k+1}}={\left(2^{3^k}\right)}^3$, valamint $3^{2^k}={\left(3^{2^{k-1}}\right)}^2$. Ha tehát a nagyobb oldalt a köbére emeljük, a kisebb oldalt pedig a négyzetére, akkor megkapjuk a bizonyítandó állítást. Mivel a két oldal $1$-nél nagyobb, a hatványozás során növekednek. Az indukciós lépés tehát igaz, mert nagyobb szám nagyobb hatványa nagyobb, mint kisebb szám kisebb hatványa. Tehát $2^{3^n}>3^{2^{n-1}}$, ha $n\ge 1$. Most bizonyítsuk az eredeti állítást, ugyanúgy teljes indukcióval. Az alap itt: $2^{3^{2^3}}>3^{2^{3^2}}$, ugyanis $2^{3^{2^3}}=2^{3^8}=2^{6561}>{16}^{1640}>{10}^{1640}$ és $3^{2^{3^2}}=3^{512}<{10}^{512}$, azaz a bal oldali szám legalább $1640$, a jobb oldali viszont legfeljebb $512$ számjegyű. Az indukciós lépés az, hogy ha $s_k=2^{3^{2^{3^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{\mathrm{.}}}}}}}>t_k=3^{2^{3^{2^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{\mathrm{.}}}}}}}$, ahol a két számban egyaránt $k$ darab $2$-es szerepel, akkor $s_{k+1}=2^{3^{2^{3^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{\mathrm{.}}}}}}}>3^{2^{3^{2^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{\mathrm{.}}}}}}}=t_{k+1}$, ahol a két számban egyaránt $k+1$ darab $2$-es szerepel. $s_k-t_k\ge 1$, mert teljesül a feltevés és $s_k\mathrm{,}{t}_k$ egészek. A Lemma alapján így $2^{3^{s_k}}>3^{2^{s_k-1}}\ge 3^{2^{t_k}}$. Ez pedig éppen a belátandó állítás, mert mindkét oldalon 1-gyel nőtt a $2$-esek száma. Beláttuk tehát általánosan, hogy ha a $2^{3^{2^{3^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{2^3}}}}}}}\mathrm{,}{3}^{2^{3^{2^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{3^2}}}}}}}$ számok ugyanannyi kettest és hármast tartalmaznak és mindegyikből legalább kettőt, akkor teljesül, hogy $2^{3^{2^{3^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{2^3}}}}}}}>3^{2^{3^{2^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{{\mathrm{.}}^{3^2}}}}}}}$. Ennek egy speciális esete az, ami a feladatban szerepel: 50-50 darab kettes és hármas.