Feladat: B.4679 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Zsók Bianka 
Füzet: 2016/szeptember, 341 - 342. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Oszthatóság, Természetes számok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2015/január: B.4679

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Nevezzük ,,10-es átlépésnek'' azt az esetet, amikor egy számot 1-gyel növelve megváltozik a számnak a tízes helyiértékén levő számjegye, de a százas helyiértéken levő nem (pl. 8990).
Nevezzük ,,100-as átlépésnek'' azt az esetet, amikor egy számot 1-gyel növelve megváltozik a számnak a százas helyiértékén levő számjegye (pl. 199200 vagy 19992000).
Mivel 39 egymást követő szám van, így legfeljebb egyszer fordulhat elő 100-as átlépés.
Ha egy számhoz hozzáadunk 10-et, és nincs 100-as átlépés, akkor a szám jegyeinek összege 1-gyel nő.
Mivel 39 szám van, így vagy a 100-as átlépés előtt vagy után lesz legalább húsz egymást követő szám. Ezek között egy darab 10-es átlépés lehetséges.
Ha a 100-as átlépés előtt van húsz szám (vagyis a 100-as átlépés a 21.), akkor ezen számok jegyeinek összege a következőféleképp alakul: a, a+1, a+2, a+3, ..., a+9, a+1, a+2, ..., a+10 (pl. 80, 81, 82, ..., 89, 90, 91, ..., 99).
Ha a 100-as átlépés után van húsz szám (ekkor a 100-as átlépés az első), akkor a számjegyek összege ugyanígy alakul (pl. 2000, 2001, 2002, ..., 2009, 2010, 2011, ..., 2019).
Ha nincs 100-as átlépés, akkor pedig nyilván van húsz olyan szám, amik között csak egy tízes átlépés szerepel.
Tehát a számok jegyeinek összege lehet: a, a+1, ..., a+9, a+10. Ez 11 egymást követő szám, melyek között biztosan van 11-gyel osztható.