Feladat:	4924. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elek Péter ,  Gnädig Péter ,  Paulovics Péter
Füzet:	2017/május, 312 - 314. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Teljes visszaverődés (Optikai alapjelenségek), Egyéb optikai leképezés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/március: 4924. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A napfény által melegített talaj először a földfelszínhez közeli levegőt melegíti fel, így a talajhoz közelebbi légrétegek melegebbek lesznek, mint a magasabban található levegő. A levegő hőmérséklete, sűrűsége és ezzel együtt a törésmutatója is függ a talajtól mért távolságtól. A változó törésmutató miatt a fény ,,folyamatosan megtörik'', a fénysugarak elgörbülnek. Az elegendően laposan érkező fénysugarak ,,visszafordulnak'', és úgy jutnak a fényképezőgépbe, hogy ott nem az autópálya talajáról, hanem az égboltról alkotnak képet. Ennek a délibáb-jelenségnek a fényképen látható határa (az erősen torzított méretarányú) 1. ábrán a $P$ pont, ami ‐ jó közelítéssel ‐ megegyezik a visszaforduló fénysugár legmélyebb, $P\text{'}$-vel jelölt pontjával. (Az ábrán a világosabb árnyalat a melegebb, ritkább, és emiatt kisebb törésmutatójú levegőt jelöli.)   1. ábra   A folytonosan változó törésmutatójú levegőt közelíthetjük olyan vékony légrétegekkel, amelyekben a törésmutató állandónak tekinthető. A fény útvonala ilyenkor sok rövid, egyenes szakasszal adható meg (2. ábra). A közelítés nyilván annál jobb, minél több (minél vékonyabb) réteget veszünk fel.   2. ábra   A Snellius‐Descartes-törvény szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle n_1\text{sin}{\alpha }_1=n_2\text{sin}{\alpha }_2=n_3\text{sin}{\alpha }_3=\text{...}=n_i\text{sin}{\alpha }_i=\text{állandó}\mathrm{.}}\end{array}$ Az állandó értéke a legalsó réteghez tartozó $n_{\text{lent}}$ törésmutatóval egyezik meg, hiszen az ottani beesési szög ${\alpha }_{\text{lent}}={90}^{\circ }$. Másrészt tudjuk, hogy a fényképezőgép magasságában, ahol a törésmutató $n_1=n_{\text{fent}}$, az 1. ábrán látható derékszögű háromszög adatai alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}{\alpha }_1=\frac{180\text{m}}{1\mathrm{,}8\text{m}}=\mathrm{100,}\text{tehát}{\alpha }_1=89\mathrm{,}{43}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ A Snellius‐Descartes-törvény szerint tehát fennáll: $\begin{array}{c}{\displaystyle n_{\text{lent}}=n_{\text{fent}}\text{sin}{\alpha }_1=0\mathrm{,}99995n_{\text{fent}}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle n_{\text{fent}}-n_{\text{lent}}=5\cdot {10}^{-5}{n}_{\text{fent}}\approx 5\cdot {10}^{-5}\mathrm{.}}\end{array}$ Az utolsó lépésnél kihasználtuk, hogy a levegő törésmutatója jó közelítéssel 1-nek vehető. (Normál állapotban pl. $n_{\text{levegő}}=1\mathrm{,}00029$.) A törésmutató változása csak a talaj közvetlen közelében számottevő, ezért a fénysugarak irányváltozása egyetlen ritkább, tehát kisebb törésmutatójú légrétegen történő teljes visszaverődésként is értelmezhetó. Ez a leírás a fénysugárnak a függőlegessel bezárt szögére (a teljes visszaverődés határszögére) a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\alpha =\frac{n_{\text{lent}}}{n_{\text{fent}}}}\end{array}$ feltételt adja, ahonnan a törésmutatók különbsége ‐ az előzőekben leírt módon ‐ kiszámítható.   Megjegyzés. A ritka gázok törésmutatójának 1-től való eltérése arányos a gáz sűrűségével, ami pedig (állandó nyomáson) az abszolút hőmérséklet reciprokával arányos. Ismerve a normál állapotú levegő törésmutatóját és a feladatben kiszámított törésmutató-különbséget, kiszámíthatjuk, hogy a feladatban szereplő adatok mellett a talaj közvetlen közelében a levegő kb. 60 fokkal lehetett melegebb, mint a fényképezőgép magasságában.