A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Számítsuk ki először, hogy mekkora gravitációs vonzóerőt fejt ki a hosszúságú rúd az tömegű testre! A rudat ‐ gondolatban ‐ felbonthatjuk kicsiny, hosszú darabkákra (1. ábra), és ezen darabkák által az tömegű testre kifejtett erőt külön-külön vizsgálhatjuk, majd ezeket az erőket összegezhetjük. Egy ilyen darabka tömege
1. ábra Vegyünk egy tetszőleges, az tömegű testtől távolságra lévő kicsiny rúddarabot. Ez a ( esetén pontszerűnek tekinthető) rúddarab a gravitációs erőtörvény alapján | | erőt fejt ki a tömegű, pontszerű testre. Az egész rúd által kifejtett erőt ezen kis erőjárulékok összegzéséből kaphatjuk meg: | | Ha a felosztást finomítjuk (vagyis -et egyre kisebbnek választjuk), az összegzésről integrálásra térhetünk át: | |
Hasonlóan számíthatjuk ki a másik rúd gravitációs vonzóerejét:
Az tömegű testre ható eredő gravitációs erő nagysága tehát: iránya pedig a hosszúságú rúd irányával -os szöget zár be.
II. megoldás. A feladat elemi úton, az integrálszámítás ismerete nélkül is megoldható. A megoldáshoz ,,csak'' annyit kell tudnunk, hogy két pontszerű test gravitációs helyzeti energiája ahol és a testek tömege, pedig a távolságuk.
Megjegyzés. Ezt az összefüggést a ponttöltések elektrosztatikus energiájának mintájára írhatjuk fel, hivatkozva a Coulomb-törvény és a Newton-féle gravitációs törvény analógiájára. Vizsgáljuk először csak a hosszúságú rudat. Ez a rúd valamekkora erővel hat az tömegű testre, az pedig ugyanekkora erővel visszahat a rúdra. Toljuk el (gondolatban) a rudat kicsiny távolsággal, miközben az tömegű testet az eredeti helyén tartjuk (2. ábra). Ekkor a gravitáció ellenében munkát végzünk.
2. ábra Másrészt a rúd elmozdításával a két test között megváltozik a gravitációs potenciális energia, hiszen a rúd minden darabkája kicsit távolabb kerül az tömegű testtől. Mivel a rúd csak nagyon kis mértékben mozdult el a helyéről, új helyzetének legnagyobb része ,,átfedésben van'' a régivel, tehát vehetjük úgy, mintha egy kicsiny hosszúságú darabot a rúd egyik végéről a másik végére helyeztünk volna át. Ekkor egyedül ezen hosszú darabnak változik meg az tömegű testhez viszonyított potenciális energiája, és ez a változás: | |
Mivel a potenciális energia megváltozását az általunk végzett munka fedezte: ahonnan leolvashatjuk, hogy Hasonló módon számolhatjuk ki, hogy az hosszúságú rúdra ható erő: és innen az I. megoldásban leírt módon megkapható az eredő erő nagysága és iránya. |