A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen a kezdetben mozgó test tömege , a sebessége pedig . Ezek kifejezhetők az energia és a lendület segítségével: ahonnan A két test tömegközéppontjának sebessége az ütközés előtt | | és ez a sebesség az ütközés során sem változik. Az tömegű, kezdetben álló test az ütközés előtt sebességgel közeledik a tömegközéppont felé. A tökéletesen rugalmas ütközés után ugyanekkora nagyságú sebességgel fog távolodni a tömegközépponttól, tehát a ,,laboratóriumi rendszerben'' a sebessége lesz. A kezdetben álló testnek átadott energia tehát | |
Adott lendület esetén a intervallumon szigorúan monoton növekvő függvény, hiszen a fenti képletben a zárójelben álló kifejezés reciproka | | ami növekedtével monoton csökken. A függvény határértéke esetén .
Megjegyzés. A függvény monoton növekedése a derivált előjeléből is leolvasható: | |
Az 1. ábra az átadott energiát mutatja az ütköző test energiájának függvényében, rögzített lendület mellett.
1. ábra Adott energia mellett a függvénynek értéknél maximuma van, és a legnagyobb átadott energia éppen (2. ábra). Ezt a függvény deriváltjának előjelváltásából olvashatjuk le, de elemi úton, a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenségből is beláthatjuk: | | vagyis , és az egyenlőség akkor áll fenn, amikor Ebben az esetben a két test tömege megegyezik, és az ütköző test a teljes mozgási energiáját átadja az eredetileg álló másik testnek.
2. ábra A 3. ábra az átadott energiát mutatja függvényében két esetben: egy energiájú testnél, illetve egy másik, energiájú testnél.
3. ábra Az ábrán jól látható, hogy a kisebb energiájú test által átadott energia lehet nagyobb, mint a nagyobb energiájú test által átadott energia. |
|