Feladat:	4893. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Póta Balázs
Füzet:	2017/május, 308 - 309. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tökéletesen rugalmas ütközések
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/december: 4893. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Legyen a kezdetben mozgó test tömege $m$, a sebessége pedig $v$. Ezek kifejezhetők az energia és a lendület segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle E=\frac{1}{2}m{v}^2\mathrm{,}I=mv\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan $\begin{array}{c}{\displaystyle m=\frac{I^2}{2E}\text{és}v=\frac{2E}{I}\mathrm{.}}\end{array}$ A két test tömegközéppontjának sebessége az ütközés előtt $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0=\frac{I}{M+m}=\frac{I}{M+\frac{I^2}{2E}}=\frac{2EI}{2EM+I^2}\mathrm{,}}\end{array}$ és ez a sebesség az ütközés során sem változik. Az $M$ tömegű, kezdetben álló test az ütközés előtt $v_0$ sebességgel közeledik a tömegközéppont felé. A tökéletesen rugalmas ütközés után ugyanekkora nagyságú sebességgel fog távolodni a tömegközépponttól, tehát a ,,laboratóriumi rendszerben'' a sebessége $\begin{array}{c}{\displaystyle u=2v_0=\frac{4EI}{2EM+I^2}}\end{array}$ lesz. A kezdetben álló testnek átadott energia tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle W\left(E\mathrm{,}I\right)=\frac{1}{2}M{u}^2=8M{\left(\frac{EI}{2ME+I^2}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Adott $I_0$ lendület esetén a $0\le E<\infty$ intervallumon $W\left(E\right)$ szigorúan monoton növekvő függvény, hiszen a fenti képletben a zárójelben álló kifejezés reciproka $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[]{W}}\sim \frac{2ME+I_0^2}{EI}=\text{állandó}+\frac{\text{állandó}}{E}\mathrm{,}}\end{array}$ ami $E$ növekedtével monoton csökken. A függvény határértéke $E\gg I_0^2/\left(2M\right)$ esetén $2I_0^2/M$.   Megjegyzés. A függvény monoton növekedése a derivált előjeléből is leolvasható: $\begin{array}{c}{\displaystyle W\text{'}\left(E\right)=\frac{16M{I}_0^{4}E}{{\left(2ME+I_0^2\right)}^3}>0.}\end{array}$   Az 1. ábra az átadott energiát mutatja az ütköző test $E$ energiájának függvényében, rögzített $I_0$ lendület mellett.   1. ábra   Adott $E_0$ energia mellett a $W\left(E_0\mathrm{,}I\right)$ függvénynek $I=\sqrt[]{2M{E}_0}$ értéknél maximuma van, és a legnagyobb átadott energia éppen $E_0$ (2. ábra). Ezt a függvény deriváltjának előjelváltásából olvashatjuk le, de elemi úton, a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenségből is beláthatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[]{W}}=\frac{1}{E_0\sqrt[]{8M}}\left(I+\frac{2M{E}_0}{I}\right)\ge \frac{1}{E_0\sqrt[]{8M}}\cdot 2\sqrt[]{I\frac{2M{E}_0}{I}}=\frac{1}{\sqrt[]{E_0}}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $W\le E_0$, és az egyenlőség akkor áll fenn, amikor $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\frac{2M{E}_0}{I}\mathrm{,}\text{azaz}I=\sqrt[]{2M{E}_0}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebben az esetben a két test tömege megegyezik, és az ütköző test a teljes mozgási energiáját átadja az eredetileg álló másik testnek.   2. ábra   $c)$ A 3. ábra az átadott energiát mutatja $I$ függvényében két esetben: egy $E_1$ energiájú testnél, illetve egy másik, $E_2>E_1$ energiájú testnél.   3. ábra   Az ábrán jól látható, hogy a kisebb energiájú test által átadott $W_1$ energia lehet nagyobb, mint a nagyobb energiájú test által átadott $W_2$ energia.