Feladat:	4887. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gulácsi Máté ,  Krasznai Anna
Füzet:	2017/május, 305 - 307. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tükrök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/december: 4887. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A fény útja megfordítható, tehát ha az egyik irányban (mondjuk balra) kiinduló fénysugarak a tárgy helyén alkotnak valódi képet, akkor ugyanez teljesül a jobbra induló (először a síktükörre, majd utána a homorú tükörre eső) fénysugarakra is. Elegendő tehát az egyik esetet vizsgálnunk. Jelöljük a homorú tükörre vonatkozó tárgytávolságot (vagyis a fényforrás és a homorú tükör távolságát) $t$-vel. (Nyilván $t<d$.) A továbbiakban három esetet különböztetünk meg. $\left(i\right)$ Ha $t>2f$, akkor a homorú tükörről visszaverődő fénysugár az optikai tengelyt metszve éri el a síktükröt (1. ábra), és arról visszaverődve nem alkothat képet a $T$ pontban. (Ilyenkor a fényforrásról a tükör mögött keletkezik látszólagos (virtuális) kép, tehát a feladatban megadott feltétel nem teljesülhet.)   1. ábra   $\left(ii\right)$ Akkor sem jöhet létre valódi kép a fényforrás helyén, ha $t\le f$, hiszen a homorú tükörről visszaverődő fénysugarak széttartóak (az optikai tengelytől távolodnak), és ezen a helyzeten a síktükör sem változtat (2. ábra). A keletkező kép ebben az esetben is virtuális.   2. ábra   $\left(iii\right)$ A feladat szövegében megfogalmazott képalkotás tehát csak akkor valósulhat meg, ha $f<t\le 2f$. Megmutatjuk, hogy ebben az esetben tetszőleges $f$ és az egyenlőtlenségnek eleget tevő $t$ esetén találhatunk olyan $d$ távolságot, amely mellett a fényforrás helyén valódi kép jön létre. Tekintsük a fényforrásból a homorú tükör felé induló (az optikai tengellyel kis szöget bezáró) fénysugarak valamelyikét (3. ábra). A homorú tükörről visszaverődő fénysugár a sötétebben jelölt tartományban halad tovább, és az optikai tengellyel valamekkora $\alpha$ szöget zár be. Ennek a sugárnak, valamint a $T$ pontból az optikai tengellyel ugyancsak $\alpha$ szöget bezáró egyenesnek a metszéspontja kijelöli azt a helyet, ahová elhelyezett síktükör megvalósítja a kívánt leképezést. Az ábrán ugyan csak egyetlen fénysugarat rajzoltunk meg, de tudjuk, hogy ha ez a sugár a $T$ pontban metszi az optikai tengelyt, akkor ugyanez igaz a többi (az optikai tengely közelében haladó) fénysugárra is.   3. ábra   Az ábráról azt is leolvashatjuk, hogy ha valódi kép keletkezik, akkor $d\ge 2f$ mindig teljesül. Az egyenlőtlenség felső határának megfelelő $t=2f$ esetben a homorú tükör éppen a $T$ pontban alkot képet. Ha a síktükröt ide, közvetlenül a fényforrásra helyezzük, a feladat feltétele formálisan teljesül, de fizikailag reális, ténylegesen megvalósítható képalkotásnak ezt a helyzetet nem tekinthetjük.   II. megoldás. Legyen $T$ a síktükörtől $x$ távolságra. Így a síktükör által képzett $T\text{'}$ kép is $x$ távolságra lesz a síktükörtől, de annak ,,ellentétes oldalán'', vagyis a homorú tükörtól $\left(d+x\right)$ távolságra. Ha a homorú tükörrel tükrözve $T$ és $T\text{'}$ közül bármelyik is a másikat adja vissza, akkor ez oda-vissza igaz, tehát egymást kapjuk a tükrözésekből. Ebből következik, hogy elég az egyik irányból megvizsgálnunk a leképezést. Írjuk fel a homorú tükörre a leképezési törvényt, $k$ és $t$ helyére rendre $\left(d+x\right)$-et és $\left(d-x\right)$-et helyettesítve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{1}{f}}& {\displaystyle =\frac{1}{d+x}+\frac{1}{d-x}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{f}}& {\displaystyle =\frac{2d}{d^2-x^2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x}& {\displaystyle =\sqrt[]{d^2-2df}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Látjuk, hogy a feladatban leírt leképezés csak akkor valósulhat meg, ha $d^2-2df$ pozitív, vagyis $d>2f$. ($d=2f$ esetben $x=0$ lenne, vagyis a síktükröt éppen a fényforrásra kellene helyeznünk, ez fizikailag nem reális.) A fényforrást tehát a homorú tükörtől $t=d-\sqrt[]{d\left(d-2f\right)}$ távolságra kell elhelyeznünk, akkor képezi le a két tükör a fényforrást önmagára.