Feladat:	4884. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Nagy Botond
Füzet:	2017/május, 304 - 305. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Newton-törvények, Közegellenállás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/december: 4884. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Válasszuk a felfelé mutató irányt pozitívnak, és jelöljük az acélgolyót 1-es, a strandlabdát 2-es számmal! A testek gyorsulása a felfelé mozgás során $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{\mathrm{1,2}}^{\text{(fel)}}=-g-c_{\mathrm{1,2}}\cdot v^2\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $c_{\mathrm{1,2}}$ az egyes testekre jellemző, a közegellenállási erőből származó állandó. Ez az állandó egyenesen arányos a test homlokfelületének területével és a levegő sűrűségével, továbbá fordítottan arányos a test tömegével. Mivel az acélgolyó homlokfelülete sokkal kisebb, mint a strandlabdáé, tömege pedig (nagyságrendileg) ugyanakkora, mint a labda tömege, biztosan teljesül, hogy $c_1<c_2$. A gyorsulás adja meg a $v\left(t\right)$ grafikon meredekségét. A felfelé mozgás során a testek sebessége nyilván csökken, vagyis a gyorsulás nagysága csökken, a grafikon egyre lankásabb, azaz $v\left(t\right)$ grafikonja konvex. Mivel $c_1<c_2$, azonos $v$ sebesség esetén az acélgolyó gyorsulása abszolút értékben kisebb, tehát az acélgolyó $v\left(t\right)$ grafikonjának meredeksége minden $v$ sebességnél kisebb, mint a labda sebesség-idő grafikonjának meredeksége, feltéve, hogy a labda, illetve a golyó felfelé mozog.     A testek gyorsulása a lefelé mozgás során $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{\mathrm{1,2}}^{\text{(le)}}=-g+c_{\mathrm{1,2}}\cdot v^2\mathrm{.}}\end{array}$ Lefelé mozogva a sebesség tovább csökken (abszolút értéke növekszik), a gyorsulás nagysága (a $v\left(t\right)$ görbe meredeksége) csökken, vagyis a grafikon továbbra is konvex marad. A testek indulási sebessége ‐ a feladat szövege szerint ‐ ugyanakkora ($v_0$). A visszaérkezési sebességről ‐ a munkatétel alapján ‐ azt állítjuk, hogy a kiindulási sebességnél biztosan kisebb abszolút értékű. A nehézségi erő (konzervatív erőtér) összes munkavégzése ugyan nulla, de a közegellenállási erő mindig ellentétes irányú a pillanatnyi sebességgel, így mindvégig negatív munkát végez, energiát disszipál.   Megjegyzés. A két test visszaérkezési sebességének egymással történő összehasonlítása (amit a feladat nem kérdezett) bonyolultabb probléma. Igaz ugyan, hogy az acélgolyóra ható közegellenállási erő kisebb, mint az ugyanakkora sebességgel mozgó strandlabdára ható közegellenállási erő, tehát az energiadisszipáció teljesítménye a labdánál nagyobb, viszont a mozgások időtartama is különböző. Ha az acélgolyóra ható közegellenállást elhanyagolhatóan kicsinek tekintjük ($c_1\approx 0$), akkor a labda végsebességének abszolút értéke biztosan kisebb, mint az acélgolyóé, ami ‐ nagyságát tekintve ‐ közelítőleg $v_0$-lal egyezik meg.   A sebesség‐idő grafikonon a görbe alatti terület mutatja meg a test által bizonyos idő alatt megtett utat. Ha a maximális emelkedési magasságra vagyunk kíváncsiak, akkor a grafikon alatti területet addig a $t_1$, illetve $t_2$ időpillanatig kell vizsgálnunk, amikor a strandlabda, illetve az acélgolyó sebessége nullává válik. A grafikonról leolvasható, hogy az acélgolyó magasabbra jut, mint a strandlabda, hiszen az emelkedési magasságuk különbsége (az ábrán szürkén jelölt terület) pozitív. A két görbe meredeksége akkor egyezik meg, ha a testek gyorsulása ugyanakkora, vagyis ha van olyan $t^{*}$ pillanat, amikor $\begin{array}{c}{\displaystyle -g-c_1\cdot {\left[v_1\left(t^{*}\right)\right]}^2=-g-c_2\cdot {\left[v_2\left(t^{*}\right)\right]}^2\mathrm{,}\text{azaz}\frac{v_1\left(t^{*}\right)}{v_2\left(t^{*}\right)}=\sqrt[]{\frac{c_2}{c_1}}>1.}\end{array}$ Ilyen pillanat biztosan létezik, hiszen az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(t\right)\equiv \frac{v_1\left(t\right)}{v_2\left(t\right)}}\end{array}$ függvény kezdetben (a feldobás pillanatában) 1 értéket vesz fel, a továbbiakban folytonosan változik, és a strandlabda megállásának pillanatához közeledve tetszőlegesen naggyá válik (végtelenhez tart). Az $f\left(t\right)$ folytonos függvény minden 1-nél nagyobb értéket felvesz, tehát lesz olyan $t^{*}$ pillanat, amikor éppen $\sqrt[]{c_2/c_1}$-gyel egyenlő. Ebben a pillanatban a két test gyorsulása ugyanakkora, tehát a $v_1\left(t\right)$ és a $v_2\left(t\right)$ grafikonjának meredeksége megegyezik.   Megjegyzések. 1. Ha az acélgolyóra ható közegellenállást elhanyagolhatóan kicsinek tekintjük ($c_1\approx 0$), akkor a golyó gyorsulása mindvégig $-g$. A labda gyorsulása a megállásának pillanatában (a pályájának legmagasabb pontján) lesz ugyanekkora, tehát ekkor egyezik meg a két görbe meredeksége. 2. A strandlabda földre esésének $T_2$ időpontját az a feltétel határozza meg, hogy $v_2\left(t\right)$ grafikonjának görbe alatti területe a $0<t<t_2$ intervallumon ugyanakkora, mint $v_2\left(t\right)$ és a $t$ tengely közötti terület a $t_2<t<T_2$ intervallumon. Hasonló módon olvashatjuk le a grafikonról az acélgolyó visszaérkezésének $T_1$ idejét is.