A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Válasszuk a felfelé mutató irányt pozitívnak, és jelöljük az acélgolyót 1-es, a strandlabdát 2-es számmal! A testek gyorsulása a felfelé mozgás során ahol az egyes testekre jellemző, a közegellenállási erőből származó állandó. Ez az állandó egyenesen arányos a test homlokfelületének területével és a levegő sűrűségével, továbbá fordítottan arányos a test tömegével. Mivel az acélgolyó homlokfelülete sokkal kisebb, mint a strandlabdáé, tömege pedig (nagyságrendileg) ugyanakkora, mint a labda tömege, biztosan teljesül, hogy . A gyorsulás adja meg a grafikon meredekségét. A felfelé mozgás során a testek sebessége nyilván csökken, vagyis a gyorsulás nagysága csökken, a grafikon egyre lankásabb, azaz grafikonja konvex. Mivel , azonos sebesség esetén az acélgolyó gyorsulása abszolút értékben kisebb, tehát az acélgolyó grafikonjának meredeksége minden sebességnél kisebb, mint a labda sebesség-idő grafikonjának meredeksége, feltéve, hogy a labda, illetve a golyó felfelé mozog.
A testek gyorsulása a lefelé mozgás során Lefelé mozogva a sebesség tovább csökken (abszolút értéke növekszik), a gyorsulás nagysága (a görbe meredeksége) csökken, vagyis a grafikon továbbra is konvex marad. A testek indulási sebessége ‐ a feladat szövege szerint ‐ ugyanakkora (). A visszaérkezési sebességről ‐ a munkatétel alapján ‐ azt állítjuk, hogy a kiindulási sebességnél biztosan kisebb abszolút értékű. A nehézségi erő (konzervatív erőtér) összes munkavégzése ugyan nulla, de a közegellenállási erő mindig ellentétes irányú a pillanatnyi sebességgel, így mindvégig negatív munkát végez, energiát disszipál.
Megjegyzés. A két test visszaérkezési sebességének egymással történő összehasonlítása (amit a feladat nem kérdezett) bonyolultabb probléma. Igaz ugyan, hogy az acélgolyóra ható közegellenállási erő kisebb, mint az ugyanakkora sebességgel mozgó strandlabdára ható közegellenállási erő, tehát az energiadisszipáció teljesítménye a labdánál nagyobb, viszont a mozgások időtartama is különböző. Ha az acélgolyóra ható közegellenállást elhanyagolhatóan kicsinek tekintjük (), akkor a labda végsebességének abszolút értéke biztosan kisebb, mint az acélgolyóé, ami ‐ nagyságát tekintve ‐ közelítőleg -lal egyezik meg.
A sebesség‐idő grafikonon a görbe alatti terület mutatja meg a test által bizonyos idő alatt megtett utat. Ha a maximális emelkedési magasságra vagyunk kíváncsiak, akkor a grafikon alatti területet addig a , illetve időpillanatig kell vizsgálnunk, amikor a strandlabda, illetve az acélgolyó sebessége nullává válik. A grafikonról leolvasható, hogy az acélgolyó magasabbra jut, mint a strandlabda, hiszen az emelkedési magasságuk különbsége (az ábrán szürkén jelölt terület) pozitív. A két görbe meredeksége akkor egyezik meg, ha a testek gyorsulása ugyanakkora, vagyis ha van olyan pillanat, amikor | | Ilyen pillanat biztosan létezik, hiszen az függvény kezdetben (a feldobás pillanatában) 1 értéket vesz fel, a továbbiakban folytonosan változik, és a strandlabda megállásának pillanatához közeledve tetszőlegesen naggyá válik (végtelenhez tart). Az folytonos függvény minden 1-nél nagyobb értéket felvesz, tehát lesz olyan pillanat, amikor éppen -gyel egyenlő. Ebben a pillanatban a két test gyorsulása ugyanakkora, tehát a és a grafikonjának meredeksége megegyezik.
Megjegyzések. 1. Ha az acélgolyóra ható közegellenállást elhanyagolhatóan kicsinek tekintjük (), akkor a golyó gyorsulása mindvégig . A labda gyorsulása a megállásának pillanatában (a pályájának legmagasabb pontján) lesz ugyanekkora, tehát ekkor egyezik meg a két görbe meredeksége. 2. A strandlabda földre esésének időpontját az a feltétel határozza meg, hogy grafikonjának görbe alatti területe a intervallumon ugyanakkora, mint és a tengely közötti terület a intervallumon. Hasonló módon olvashatjuk le a grafikonról az acélgolyó visszaérkezésének idejét is.
|
|