Kezdőlap


Feladat:	B.4743	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gerliczky Bence
Füzet:	2016/május, 280. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Magasságpont, Háromszögek egybevágósága, Síkgeometriai bizonyítások, Beírt kör
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/november: B.4743

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a beírt kör középpontja az $O$ pont. Külső pontból egy körhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak, tehát az $A B_{1} C_{1}$ háromszög egyenlő szárú, és így magasságpontja, $M_{A}$ rajta van az $A$ -hoz tartozó belső szögfelezőn. $O C_{1}$ párhuzamos $B_{1} M_{A}$ -val, mivel mindkettő merőleges $A B$ -re, továbbá $O B_{1}$ párhuzamos $C_{1} M_{A}$ -val, mivel mindketten merőlegesek $A C$ -re. Ezek alapján $M_{A} C_{1} O B_{1}$ szemközti oldalai párhuzamosak, tehát parallelogramma. Látjuk azt is, hogy $M_{A} B_{1} = O C_{1}$ , a beírt kör $r$ sugarával egyenlőek. Hasonlóan $A_{1} M_{B} C_{1} O$ is parallelogramma. Emiatt $A_{1} M_{B} = O C_{1} = r$ . Az eddigiek alapján $M_{A} B_{1} = A_{1} M_{B} = r$ , és párhuzamosak is, hiszen merőlegesek $A B$ -re, vagyis $M_{A} B_{1} A_{1} M_{B}$ parallelogramma. Ebből már látható, hogy $A_{1} B_{1} = M_{A} M_{B}$ .

Hasonlóan igazolható, hogy

A_{1} C_{1} = M_{A} M_{C}

és

B_{1} C_{1} = M_{B} M_{C}

.
Tehát az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög egybevágó az

M_{A} M_{B} M_{C}

háromszöggel.