A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A fertőzés teljes elterjedésének lehetségessé válásához kezdetben (legalább) fertőzött mező szükséges. Ennyi esetén valóban elő is fordulhat, hogy elterjed, például, ha kezdetben egy -es részben helyezkednek el a fertőzött mezők. Ekkor ugyanis könnyen láthatóan 3 perc alatt minden mező megfertőződik: 1 perc után azok a sorok, amiket a -es kocka sorai határoznak meg, 2 perc után azok a síkok, amiket a -es kocka síkjai határoznak meg, végül 3 perc után a többi mező is. Annak bizonyítása, hogy ennél kevesebb fertőzött mező esetén nem lehetséges az elterjedés, a középiskolai tananyagon túlmutató bizonyítást igényel, lásd pl. a feladat internetes megoldásához betett cikket.
Foglalkozzunk most a feladat részével. fertőzött mező még nem biztos, hogy elegendő. Ha ennyi fertőzött mezőt úgy helyezünk el, hogy egy élű kocka maradjon ki az egyik sarokban, akkor minden sorban (sor alatt a kocka valamelyik oldalélével párhuzamos sort értünk) csak fertőzött mező lesz, így a fertőzés nem terjed tovább. Ha viszont már mező fertőzött, akkor belátható, hogy biztosan megfertőződik az egész kocka. Nézzük meg, hány fertőzött mezőjétől fertőződik meg biztosan egy 2-dimenziós, -ös ,,rétege'' a kockának. Ha lesz legalább darab olyan irányú sor, amiben legalább fertőzött mező van, akkor biztosan megfertőződik. Ha ez nem teljesül, az azt jelenti, hogy van legalább darab irányú sor, amiben legfeljebb fertőzött mező van. A többi sorban legfeljebb 2015 fertőzött mező lehet, tehát ez összesen legfeljebb | | Ha több -nél kevesebb fertőzött mezőt tartalmazó sor van, az természetesen összességében még kevesebb fertőzött mezőt tesz lehetővé. Tehát ha -nél több fertőzött mező van egy lapon, ott már muszáj legalább darab, legalább fertőzött mezőt tartalmazó sornak lennie, ezek az irányú sorok a következő percben teljesen megfertőződnek, így minden irányú sorban lesz legalább fertőzött mező, és így minden megfertőződik. Ugyanígy, ha van legalább darab olyan irányú ,,réteg'', amiben legalább fertőzött mező van, akkor biztosan megfertőződik az egész kocka, hiszen mint már megmutattuk, minden lap teljesen megfertőződik, és ezután minden irányú sorban lesz legalább fertőzött mező, így minden megfertőződik. Ha ez a feltétel nem teljesül, az azt jelenti, hogy van legalább darab legfeljebb fertőzött mezőt tartalmazó lap, a többi pedig legfeljebb fertőzött mezőt tartalmazhat, így összesen legfeljebb
fertőzött mező esetén nem lenne biztos, hogy minden mező megfertőződik. Tehát fertőzött mezőnél biztossá válik az egész kocka megfertőződése.
Megjegyzés. Az részre maximum 1 pontot adtunk. A rész 3 pontot ért, így a feladatra összesen 4 pontot lehetett legfeljebb kapni. A Versenyzőktől elnézést kér a matematika bizottság. Paul N. Balister, Béla Bollobás, Jonathan D. Lee, and Bhargav P. Narayanan: Line percolation; http://www.komal.hu/cikkek/egyeb/b4734cikk.pdf |
|