Feladat: B.4729 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bodolai Előd 
Füzet: 2016/április, 220 - 221. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai szerkesztések
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2015/szeptember: B.4729

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a szerkesztendő pont P, továbbá vezessük be az ábra szerinti APD∢2=BPC∢=α jelölést. Legyen a B' pont a B pont C-re vonatkozó tükörképe.

 
 

A BPC és a B'PC háromszögek a tükrözés miatt egybevágók. Állítsunk merőlegest a B' pontból az AP egyenesre, a merőleges talppontja legyen az E pont. CPE∢=DPA∢=2α, mivel csúcsszögek, így azt is látjuk, hogy
EPB'∢=EPC∢-B'PC∢=2α-α=α=B'PC∢.
A PCB' és a PEB' háromszögekben egy oldal közös és a szögek megegyeznek, a két háromszög egybevágó. Tehát B'C=B'E és CP=PE, vagyis a B' középpontú B'C=BC sugarú k kört a PC és PE egyenesek C-ben, illetve E-ben érintik. Az eddigiek alapján az AP egyenes a k kör érintője, az érintési pont az E pont. Az érintő megszerkesztéséhez elegendő a k kör és az A pont ismerete. Ahol az érintő metszi a CD szakaszt, ott kapjuk a P pontot.

A szerkesztés menete:
1. A B pont tükrözése C-re (B' pont).
2. A B' középpontú, BC sugarú kör szerkesztése (a k kör szerkesztése).
3. A k körhöz érintő szerkesztése az A pontból (az érintési pont E).
4. A CD és AE szakaszok metszéspontja P.
A szerkesztési eljárás helyességének feltétele, hogy a CD és AE szakaszok valóban messék egymást. Két esetet érdemes külön vizsgálnunk:
I. eset: CD>BC.
Ebben az esetben mindig működik a szerkesztési eljárás. A k kör összes pontja ugyanis az AD egyenes egyik félsíkjába esik, a CD szakasz merőleges AD-re, tehát az A-ból k-hoz húzott érintő félegyenes is ebben a félsíkban lesz, a CD szakaszt metszi.
II. eset: CD≤BC.
Mivel egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, a BCP háromszögben BC≥CD≥CP, tehát α≥45∘⇒2α≥90∘. Azonban a P pont a CD szakasz belső pontja, ezért az APD szögnek hegyesszögnek kellene lennie. Tehát ebben az esetben nem létezik a CD szakasznak megfelelő P pontja.
 
Megjegyzés. Sok versenyző választott algebrai megoldást. Az adatokkal kifejezték a CP, vagy a DP szakasz hosszát, esetleg a BPC∢ tangensét. Mindegyik esetben egy gyökös kifejezés adódott, ahol már nagyon sokan elmulasztották a szerkesztés menetének leírását és/vagy a szerkeszthetőség kérdésének vizsgálatát.