Feladat:	B.4727	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Juhász Dániel
Füzet:	2016/április, 218 - 219. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Különleges függvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/szeptember: B.4727

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen $x=y=0$: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(0+0\right)+f\left(0\right)\cdot f\left(0\right)}& {\displaystyle =0^2\cdot 0^2+2\cdot 0\cdot \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {f\left(0\right)}^2+f\left(0\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(0\right)\cdot \left(f\left(0\right)+1\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamely tényezője nulla, így $f\left(0\right)=0$ vagy $f\left(0\right)=-1$. Legyen $y=0$ és $x$ tetszőleges: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x+0\right)+f\left(x\right)\cdot f\left(0\right)}& {\displaystyle =x^2\cdot 0^2+2x\cdot \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot f\left(0\right)=f\left(x\right)\cdot \left(1+f\left(0\right)\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Ha $f\left(0\right)=0$, akkor a szorzat első tényezőjének kell nullának lennie: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=0;}\end{array}$ ez viszont nem megoldás például $x=y=1$-re: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(2\right)+{f\left(1\right)}^2}& {\displaystyle =1^2\cdot 1^2+2\cdot 1\cdot \mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle \ne 3.}\hfill \end{array}}$ Tehát $f\left(0\right)=-1$. Legyen $y=-x$: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x-x\right)+f\left(x\right)\cdot f\left(-x\right)}& {\displaystyle =x^4-2x^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(0\right)+f\left(x\right)\cdot f\left(-x\right)}& {\displaystyle =x^4-2x^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Felhasználva, hogy $f\left(0\right)=-1$: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x\right)\cdot f\left(-x\right)}& {\displaystyle =x^4-2x^2+\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(x\right)\cdot f\left(-x\right)}& {\displaystyle ={\left(x^2-1\right)}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Legyen itt $x=1$: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(1\right)f\left(-1\right)=0.}\end{array}$ Egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla. Ha $f\left(1\right)=0$, akkor legyen $y=1$ és $x$ tetszőleges: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x+1\right)+f\left(x\right)\cdot f\left(1\right)}& {\displaystyle =x^2\cdot 1^2+2x\cdot \mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(x+1\right)+f\left(x\right)\cdot 0}& {\displaystyle =x^2+2x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(x+1\right)}& {\displaystyle =x^2+2x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát ekkor $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2+2\left(x-1\right)=x^2-1$. Ha $f\left(-1\right)=0$, akkor legyen $y=-1$ és $x$ tetszőleges: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(x-1\right)+f\left(x\right)\cdot f\left(-1\right)}& {\displaystyle =x^2\cdot {\left(-1\right)}^2+2x\cdot \left(-1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(x-1\right)+f\left(x\right)\cdot 0}& {\displaystyle =x^2-2x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(x-1\right)}& {\displaystyle =x^2-2x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát ekkor is $f\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2-2\left(x+1\right)=x^2-1$. Ez a megoldás valóban jó: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f\left(x+y\right)+f\left(x\right)\cdot f\left(y\right)={\left(x+y\right)}^2-1+\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =x^2+2xy+y^2-1+x^2{y}^2-x^2-y^2+1=x^2{y}^2+2xy\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát az egyetlen ilyen $f$ függvény az $f\left(x\right)=x^2-1$.