Feladat: B.4675 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Andi Gabriel Brojbeanu ,  Döbröntei Dávid Bence ,  Fekete Panna ,  Kosztolányi Kata ,  Kovács Péter Tamás ,  Lajkó Kálmán ,  Nagy Kartal ,  Sal Kristóf ,  Schrettner Bálint ,  Schwarcz Tamás ,  Szebellédi Márton ,  Wei Cong Wu ,  Williams Kada ,  Zsakó Ágnes ,  Öreg Botond 
Füzet: 2016/április, 209 - 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Logaritmusos egyenlőtlenségek, Szorzat, hatványozás azonosságai
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2014/december: B.4675

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Megmutatjuk, hogy az első kifejezés a nagyobb, vagyis
2log33log35log37...log32011log32013<<log34log36log38...log32012log32014.


A bal oldalon álló szorzat minden tényezője pozitív, így az egyenlőtlenség ekvivalens a következővel:
2log33log33log35log35log37...log32011log32013log32013<<log34log36log38...log32012log32014.


Ha 3n, akkor a 0<log3n és a 0<log3(n+2) kifejezésekre alkalmazva a mértani és számtani közép közti egyenlőtlenséget:
log3nlog3(n+2)log3n+log3(n+2)2.
A log3x függvény konkáv, így a Jensen-egyenlőtlenség szerint:
log3n+log3(n+2)2log3(n+(n+2)2)=log3(n+1),
ezért
log3nlog3(n+2)log3(n+1).
Ezt rendre n=3,5,...,2011-re alkalmazva:
log33log35log35log37...log32011log32013log34log36...log32012,


így az állítás igazolásához elég a következőt belátnunk:
2log33log32013<log32014.
Nyilván log32013<log32014 és log33=1, emiatt elég a következőt igazolnunk:
2<log32014,4<log32014,34=81<2014
(felhasználva, hogy a x és a log3x függvény szigorúan monoton nő).
Ezzel beláttuk, hogy a két kifejezés közül valóban az első a nagyobb.
 
II. megoldás. Először a következő lemmát igazoljuk: Ha n>1 egész szám, akkor logn(n+1)>logn+1(n+2), azaz
logn(n+1)>logn(n+2)logn(n+1),
illetve
(logn(n+1))2>logn(n+2).

Ez az y=nx függvény szigorú monoton növekedése miatt ekvivalens azzal, hogy
n(logn(n+1))2>nlogn(n+2),
vagyis
(n+1)logn(n+1)>n+2.

Legyen n=a, 1=b és logn(n+1)=k>1. Ekkor a belátandó egyenlőtlenség:
(a+b)k>ak+bk.
Mivel (a+b)k>0, oszthatunk vele:
1>(aa+b)k+(ba+b)k.

Mivel a,b>0, k>1, aa+b<1 és ba+b<1, azért
(aa+b)k<aa+b,és(ba+b)k<ba+b,így(aa+b)k+(ba+b)k<aa+b+ba+b=1;


ez pedig éppen a bizonyítandó állítás.
Ezután belátjuk, hogy a feladatban megadott első kifejezés a nagyobb. Mivel mindkettő pozitív, ez nyilván ekvivalens a következő egyenlőtlenséggel:
log34log36...log320142log33log35...log32013>1,
vagyis az áttérési képlet alkalmazásával:
A=log34log56...log20132014>2.

Legyen B=log45log67...log20142015. A lemma miatt A>B, ezért
A2>AB=log34log45log56...log20132014log20142015==log34log35log34log36log35...log32014log32013log32015log32014=log32015>4,
tehát valóban A>2.