|
Feladat: |
B.4675 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Andi Gabriel Brojbeanu , Döbröntei Dávid Bence , Fekete Panna , Kosztolányi Kata , Kovács Péter Tamás , Lajkó Kálmán , Nagy Kartal , Sal Kristóf , Schrettner Bálint , Schwarcz Tamás , Szebellédi Márton , Wei Cong Wu , Williams Kada , Zsakó Ágnes , Öreg Botond |
Füzet: |
2016/április,
209 - 211. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Logaritmusos egyenlőtlenségek, Szorzat, hatványozás azonosságai |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2014/december: B.4675 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy az első kifejezés a nagyobb, vagyis
A bal oldalon álló szorzat minden tényezője pozitív, így az egyenlőtlenség ekvivalens a következővel:
Ha , akkor a és a kifejezésekre alkalmazva a mértani és számtani közép közti egyenlőtlenséget: | | A függvény konkáv, így a Jensen-egyenlőtlenség szerint: | | ezért | | Ezt rendre -re alkalmazva:
így az állítás igazolásához elég a következőt belátnunk: | | Nyilván és , emiatt elég a következőt igazolnunk:
(felhasználva, hogy a és a függvény szigorúan monoton nő). Ezzel beláttuk, hogy a két kifejezés közül valóban az első a nagyobb.
II. megoldás. Először a következő lemmát igazoljuk: Ha egész szám, akkor , azaz | | illetve Ez az függvény szigorú monoton növekedése miatt ekvivalens azzal, hogy | | vagyis Legyen , és . Ekkor a belátandó egyenlőtlenség: Mivel , oszthatunk vele: Mivel , , és , azért
ez pedig éppen a bizonyítandó állítás. Ezután belátjuk, hogy a feladatban megadott első kifejezés a nagyobb. Mivel mindkettő pozitív, ez nyilván ekvivalens a következő egyenlőtlenséggel: | | vagyis az áttérési képlet alkalmazásával: | |
Legyen . A lemma miatt , ezért
tehát valóban . |
|