Kezdőlap


Feladat:	B.4718	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Öreg Botond
Füzet:	2016/március, 151. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat, Térfogat, Párhuzamos szelők tétele és megfordítása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/május: B.4718

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a kocka éle egységnyi. Az $A E F$ sík és az $A' B'$ egyenes metszéspontja a $G$ , az $A' D'$ egyenes és a sík metszéspontja a $H$ pont. A metszéspontok léteznek, mert a sík egyik egyenessel sem párhuzamos. Legyen továbbá az $A E F$ sík metszéspontja a $B B'$ és a $D D'$ egyenesekkel rendre az $I$ és a $J$ pont. Ekkor a kockából az $A E F$ síkkal lemetszett, az $A'$ pontot tartalmazó rész térfogatát megkapjuk, ha az $A A' G H$ tetraéder térfogatából levonjuk a $B' G I E$ és a $D' H J F$ tetraéder térfogatát.

E C' F

egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért

H F D' ∢ = E F C' ∢ = 45^{\circ}

, tehát a

H D' F

derékszögű háromszög is egyenlő szárú. Ekkor

H D' = D' F = \frac{1}{2}

, így

H A' = \frac{3}{2}

. Az

A H A'

szögre tekintve a párhuzamos szelőszakaszok tételét:

\begin{matrix} J D' = A A' \cdot \frac{H D'}{H A'} = 1 \cdot \frac{1}{2} : \frac{3}{2} = \frac{1}{3} . \end{matrix}

Az előbbivel egyező gondolatmenettel

G E B' ∢ = F E C' ∢ = 45^{\circ}

, illetve

B' G = B' E = \frac{1}{2}

és

B' I = \frac{1}{3}

.
Az

A A' G H

tetraéder

A'

pontba futó élei páronként merőlegesek, így a tetraéder térfogata

\begin{matrix} V_{A A' G H} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{8} térfogategység. \end{matrix}

Szintén páronként merőlegesek a

B' G I E

tetraéder

B'

csúcsból kiinduló élei. Ezek hosszának ismeretében a térfogata:

\begin{matrix} V_{B' G I E} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{72} . \end{matrix}

Az ezzel egybevágó

D' H J F

tetraéder térfogata is

\frac{1}{72}

térfogategység.
Az eddigiek alapján az

A E F

síkkal lemetszett, az

A'

pontot tartalmazó rész térfogata:

\begin{matrix} V_{A A' G H} - V_{B' G I E} - V_{D' H J F} = \frac{3}{8} - \frac{1}{72} - \frac{1}{72} = \frac{25}{72} . \end{matrix}

A másik rész ennek megfelelően

\frac{47}{72}

, végül a két rész térfogatának aránya

25 : 47