Feladat:	B.4709	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Török Zsombor Áron
Füzet:	2016/március, 149 - 150. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/április: B.4709

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Vezessünk be új ismeretleneket. Legyen $a=x+y$ és b$=xy$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-2xy=a^2-2b=13}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+y^3={\left(x+y\right)}^3-3xy\left(x+y\right)=a^3-3ab=a\left(a^2-3b\right)=35.}\end{array}$ Így az új egyenletrendszer: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle a^2-2b}& {\displaystyle =\mathrm{13,}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle a\left(a^2-3b\right)}& {\displaystyle =35.}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \text{ Az (1) egyenlet háromszorosából:}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>6</mn><mi>b</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>3</mn><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mn>13</mn><mo stretchy="false">-</mo><mrow><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math>.}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ A (2) egyenlet kétszereséből:}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mrow><msup><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>6</mn><mi>b</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>70</mn></math>.}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ Ebbe behelyettesítve az előzőt:}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mrow><msup><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">+</mo><mn>3</mn><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mn>13</mn><mo stretchy="false">-</mo><mrow><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>70</mn></math>. }}\hfill \end{array}}$ A kapott egyenlet harmadfokú: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3-39a+70=0.}\end{array}$ Vegyük észre, hogy az eredeti egyenletrendszernek $x=2$ és $y=3$ megoldása, vagyis $a=5$ megoldása a harmadfokú egyenletnek. Osszuk el a bal oldalt $\left(a-5\right)$-tel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a^3-39a+70}{a-5}=a^2+5a-14.}\end{array}$ Az $a^2+5a-14=0$ másodfokú egyenlet megoldásai $a=2$ és $a=-7$. Ezek alapján $a^3-39a+70=\left(a-5\right)\left(a-2\right)\left(a+7\right)=0$. Az (1) egyenletből $b=\frac{a^2-13}{2}$, így a megoldások: ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =\mathrm{5,}}\hfill & {\displaystyle b}\hfill & \hfill {\displaystyle =\mathrm{6,}}\\ \hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =\mathrm{2,}}\hfill & {\displaystyle b}\hfill & \hfill {\displaystyle =-\frac{9}{2}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =-\mathrm{7,}}\hfill & {\displaystyle b}\hfill & \hfill {\displaystyle =18.}\end{array}}$ Ebből $x$ megfelelő értékeit a Viéte-formulák alkalmazásával kapjuk meg: a $z^2-az+b=0$ egyenlet megoldásai $x$ és $y$ (tetszőleges sorrendben). Így 1. $a=5$, $b=6$ esetén: $\begin{array}{c}{\displaystyle z^2-5z+6=\mathrm{0,}\text{amiből <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>3</mn></math> és <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>3</mn></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></math>.}}\end{array}$ 2. $a=2$, $b=-\frac{9}{2}$ esetén: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle z^2-2z-\frac{9}{2}=\mathrm{0,}\text{amiből:}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_3=1-\frac{\sqrt[]{22}}{2}\mathrm{,}{y}_3=1+\frac{\sqrt[]{22}}{2}\text{és}{x}_4=1+\frac{\sqrt[]{22}}{2}\mathrm{,}{y}_4=1-\frac{\sqrt[]{22}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ 3. $a=-7$, $b=18$ esetén pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle z^2+7z+18=\mathrm{0,}}\end{array}$ ekkor nem kapunk valós gyököket. A kapott megoldások kielégítik az eredeti egyenletrendszert.