Feladat:	B.4680	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Adorján Dániel
Füzet:	2016/március, 144. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Esetvizsgálat, Magasabb fokú diofantikus egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/január: B.4680

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A $2n^2+1$ kifejezésnek minimuma van $n=0$ esetén, itt a jobb oldal értéke $1$. Ebből azonnal következik, hogy $3^n<1$-re, azaz $n<0$-ra az egyenletnek nincs megoldása. $n=0$-ra: $3^n=2n^2+1=1$, ez az első megoldás. $n=1$-re: $3^n=2n^2+1=3$, ez a második megoldás. $n=2$-re: $3^n=2n^2+1=9$, ez a harmadik megoldás. Pozitív egészek esetén az $n$ értékét $1$-gyel növelve a bal oldal növekménye: $3^{n+1}-3^n=2\cdot 3^n$, mindig az aktuális érték 2-szerese. A jobb oldal növekménye ugyanekkor: $2{\left(n+1\right)}^2+1-\left(2n^2+1\right)=4n+2$. Ez kisebb, mint $2\left(2n^2+1\right)$, ha $n\ge 2$. A jobb oldal tehát $n>2$ esetén az aktuális érték 2-szeresénél lassabban növekszik, így nincs több megoldása az egyenletnek ebben a tartományban. Az egyenlet megoldásai: $n=0$, $n=1$, $n=2$.