Feladat:	B.4717	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Telek Máté László
Füzet:	2016/február, 89 - 90. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Abszolútértékes egyenletek, Irracionális egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/május: B.4717

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Négyzetgyököt csak nemnegatív számból tudunk vonni, így $x\ge 55$. Emiatt a bal oldalon $1-x<0$, az abszolút értéke tehát $x-1$. A jobb oldalon a nevezőben szereplő kifejezés teljes négyzetté alakítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle x-54-2\sqrt[]{x-55}=x-55-2\sqrt[]{x-55}+1={\left(\sqrt[]{x-55}-1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt a teljes négyzetet a másik, jobb oldalon szereplő irracionális algebrai kifejezésből is leválaszthatjuk. Ezekkel a megfontolásokkal az egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x-1=|{\left(\sqrt[]{x-55}-1\right)}^2+x-3+\frac{1}{{\left(\sqrt[]{x-55}-1\right)}^2}|\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $x\ge 55$, ezért a jobb oldalon pozitív kifejezés áll, az abszolútérték el is hagyható: $\begin{array}{c}{\displaystyle x-1=x-3+{\left(\sqrt[]{x-55}-1\right)}^2+\frac{1}{{\left(\sqrt[]{x-55}-1\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\sqrt[]{x-55}-1\right)}^2+\frac{1}{{\left(\sqrt[]{x-55}-1\right)}^2}=2.}\end{array}$ Pozitív szám és a reciprokának az összege pontosan akkor 2, ha a szám és a reciproka egyenlő, azaz 1. ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left(\sqrt[]{x-55}-1\right)}^2=\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{x-55}-1=\mathrm{1,}\text{vagy}\sqrt[]{x-55}-1=-1.}\hfill \end{array}}$ Az elsőből $\sqrt[]{x-55}=2$, $x-55=4$, $x=59$. A másodikból pedig $\sqrt[]{x-55}=0$, $x=55$. Behelyettesítéssel látható, hogy ezek valóban megoldásai az eredeti egyenletnek.