Feladat:	B.4706	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Vankó Miléna
Füzet:	2016/február, 88 - 89. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek hasonlósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/április: B.4706

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel $\overline{AE}=1$ és $\overline{AB}=\frac{\sqrt[]{5}+1}{2}$, ezért $\overline{EB}=\frac{\sqrt[]{5}-1}{2}$. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=\frac{1}{\frac{\sqrt[]{5}-1}{2}}=\frac{2}{\sqrt[]{5}-1}=\frac{2\left(\sqrt[]{5}+1\right)}{5-1}=\frac{\sqrt[]{5}+1}{2}\mathrm{,}\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}}=\frac{\sqrt[]{5}+1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$     Így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{EB}}\mathrm{.}}\end{array}$ A $DBA$ és $ECB$ derékszögű háromszögek tehát hasonlók, mert két-két oldaluk aránya és a kisebbik befogóval szemközti szögük is megegyezik ($DBA\sphericalangle =ECB\sphericalangle =\alpha$). A téglalapot mindkét átlója két-két derékszögű háromszögre bontja. Ez a négy háromszög egybevágó, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle ABD\sphericalangle =ACD\sphericalangle =BDC\sphericalangle =CAB\sphericalangle =\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Az adatok alapján az $AED$ háromszög egyenlő szárú és derékszögű, tehát $AED\sphericalangle =ADE\sphericalangle =EDC\sphericalangle ={45}^{\circ }$. Az eddigi jelölésekkel már számolható, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle EDB\sphericalangle ={90}^{\circ }-{45}^{\circ }-BDC\sphericalangle ={45}^{\circ }-\alpha =\beta \mathrm{.}}\end{array}$ Az $ACE\sphericalangle$ pedig a téglalap $C$ csúcsnál fekvő derékszögéből $\begin{array}{c}{\displaystyle ACE\sphericalangle ={90}^{\circ }-DCA\sphericalangle -ECB\sphericalangle ={90}^{\circ }-2\alpha =2\cdot \left({45}^{\circ }-\alpha \right)=2\cdot EDB\sphericalangle =2\beta \mathrm{.}}\end{array}$