Feladat:	4875. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bekes Nándor ,  Di Giovanni András ,  Mamuzsics Gergő ,  Marozsák Tóbiás ,  Németh Róbert ,  Tófalusi Ádám
Füzet:	2017/április, 245 - 247. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erők forgatónyomatéka
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/november: 4875. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A megoldás során felhasználjuk, hogy egy $R$ sugarú, homogén félgömb tömegközéppontja a félgömb szimmetriatengelyén, a sík felületétől $3/8R$ távolságra található. $a)$ Tételezzük fel, hogy a fokozatosan növekvő hajlásszögű lejtőn a test nem billen fel, de valamekkora $\alpha$ hajlásszögnél megcsúszik. Az $m$ tömegű testre ható erők egyensúlyából következik, hogy a lejtő által kifejtett nyomóerő $N=mg\text{cos}\alpha$, a súrlódási erő pedig $S=mg\text{sin}\alpha$ (1. és 2. ábra).   1. ábra     2. ábra   Csúszásmentes állapotban $S\le \mu N$ (ahol $\mu$ a tapadási súrlódási együttható), vagyis $\text{tg}\alpha \le \mu =0\mathrm{,}3$. A megcsúszás pillanatában $\text{tg}\alpha =\mu$, tehát $\alpha =16\mathrm{,}{7}^{\circ }$. Ez az érték független attól, hogy melyik felével helyeztük a félgömböt a lejtőre. $b)$ Helyezzük a félgömböt a domború oldalával lefelé a lejtőre (2. ábra). A test egyensúlyának feltétele (az erőegyensúlyon kívül) még az is, hogy a testre ható erők eredő forgatónyomatéka tetszőleges pontra (tetszőleges tengelyre) vonatkoztatva zérus legyen. Az $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">S</span></span>}$ súrlódási erő és az $\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">N</span></span>}$ nyomóerő hatásvonala áthalad a félgömb és a lejtő $P$ érintkezési pontján, forgatónyomatékuk tehát erre a pontra zérus. Az eredő forgatónyomaték akkor tűnik el, ha a függőleges irányú $m\text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">g</span></span>}$ nehézségi erő hatásvonala is áthalad a $P$ ponton. A 3. ábrán látható háromszögre felírva a szinusztételt: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\frac{3}{8}R}{\text{sin}\alpha }=\frac{R}{\text{sin}\beta }\mathrm{.}}\end{array}$ Innen ($\alpha$ már korábban kiszámított értékét felhasználva) $\beta$-ra két megoldást is kapunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\beta }_1=\text{arcsin}\left(\frac{8}{3}\text{sin}\alpha \right)\approx 50\mathrm{,}{0}^{\circ }\text{és}{\beta }_2={180}^{\circ }-{\beta }_1\approx 130\mathrm{,}{0}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek közül ${\beta }_2$ felel meg a félgömb stabil egyensúlyi helyzetének; a másik megoldás labilis egyensúlyi állapotot ír le, tehát jelen esetben figyelmen kívül hagyható.   3. ábra     Megjegyzés. A stabilitást például úgy vizsgálhatjuk, ha kiszámítjuk és grafikusan ábrázoljuk a csúszásmentesen gördített félgömb helyzeti energiáját a $P$ pont elmozdulásának függvényében. A kapott ,,hullámosan emelkedő'' függvény lokális maximuma az instabil, helyi minimuma pedig a stabil egyensúlyi állapotnak felel meg.   A 4. ábráról leolvashatjuk, hogy a lejtő és a félgömb sík oldala közötti szög $\begin{array}{c}{\displaystyle \vartheta ={180}^{\circ }-\left(\alpha +\beta \right)=33\mathrm{,}{3}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$   4. ábra   $c)$ Ha a súrlódási együttható elegendően nagy, akkor a félgömb nem tud megcsúszni, de az $\alpha$ szög növekedtével fel tud borulni.   I. Tekintsük először azt az esetet, amikor a félgömböt a sík oldalával lefelé helyeztük a lejtőre. Az 1. ábrán látható, hogy az $S$ erő forgatónyomatéka a tömegközépponton átmenő és az ábra síkjára merőleges tengelyre $-\frac{3}{8}R\cdot S$. Ugyanezen tengelyre az $N$ erő nyomatéka $N\cdot \left(xR\right)$, ahol $|x|\le 1$ (hiszen az erő támadáspontja nem eshet a félgömb és a lejtő érintkezési felületén kívülre). Az egyensúly feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle N\cdot \left(xR\right)-\frac{3}{8}R\cdot S=\mathrm{0,}\text{azaz}\frac{S}{N}=\frac{8}{3}x\le \frac{8}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $a)$ pontban kapott $\text{tg}\alpha =S/N$ és $\mu \ge \text{tg}\alpha$ összefüggések felhasználásával az $\alpha \le \text{arctg}\left(\frac{8}{3}\right)=69\mathrm{,}{4}^{\circ }$ és $\mu \ge \text{tg}{\alpha }_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\frac{8}{3}\approx 2\mathrm{,}7$ megszorításokat kapjuk.   II. Ha a félgömb a domború oldalával lefelé fekszik a lejtőn, akkor a nehézségi erő hatásvonalának át kell haladnia a $P$ érintkezési ponton (lásd a $b)$ pontban leírtakat és a 3. ábrát). Ez csak akkor lehetséges, ha a félgömb $C$ középpontjának és a $P$ pontnak vízszintes irányban mért távolsága legfeljebb $\frac{3}{8}R$. A határesetet az 5. ábra mutatja. Ezen látható, hogy a kritikus hajlásszög $\begin{array}{c}{\displaystyle {\alpha }_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=\text{arcsin}\frac{\frac{3}{8}R}{R}=\text{arcsin}\left(\frac{3}{8}\right)=22\mathrm{,}{0}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ és a minimális tapadási súrlódási együttható $\begin{array}{c}{\displaystyle {\mu }_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}=\text{tg}{\alpha }_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}=0\mathrm{,}40.}\end{array}$   5. ábra