Feladat:	4874. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	(V. K.) ,  Jánosik Áron
Füzet:	2017/április, 244. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/november: 4874. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Legyen a HÉV sebessége $V$. Mivel az egyes szerelvényeket azonos időközönként indítják el, ezért távolságuk is azonos lesz. Legyen két, azonos irányból egymás után elindított vonat távolsága $s$. Amikor a kerékpárost megelőzi egy vonat, akkor a következő szerelvény $s$ távolságra van tőle. Ez a vonat $t_1$ idő múlva éri utol a kerékpárost, aki ezalatt $v{t}_1$, a vonat pedig $V{t}_1$ utat tesz meg. Ezek különbsége $s$, hiszen a vonatnak ennyivel több utat kell megtennie, hogy utolérje a kerékpárost. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle V{t}_1-v{t}_1=s\mathrm{.}}\end{array}$ Amikor a kerékpáros találkozik egy szemből jövő vonattal, akkor az azt követő vonat még $s$ távolságra van tőle. Ez a vonat $t_2$ idő múlva találkozik a kerékpárossal, aki ezalatt $v{t}_2$, a vonat pedig $V{t}_2$ utat tesz meg. Ezek összege $s$, hiszen ilyen távol voltak, és szemben haladtak: $\begin{array}{c}{\displaystyle v{t}_2+V{t}_2=s\mathrm{.}}\end{array}$ A fenti egyenletrendszerből következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle V{t}_2+v{t}_2=V{t}_1-v{t}_1\mathrm{,}{t}_1\left(V-v\right)=t_2\left(V+v\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $t_1=2t_2$, $\begin{array}{c}{\displaystyle 2V-2v=V+v\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle V=3v=42\frac{\text{km}}{\text{h}}\mathrm{.}}\end{array}$ A vonatok közötti távolság ezek szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle s=t_2\left(V+v\right)=56\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot \frac{1}{8}\text{h}=7\text{km. }}\end{array}$ Ezt a távolságot a vonatok $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{s}{V}=\frac{7\text{km}}{42\text{km}/\text{h}}=\frac{1}{6}\text{h}=10\text{perc }}\end{array}$ alatt teszik meg, ekkora időközönként indítják tehát a HÉV szerelvényeket.   Megjegyzés. Ha nem kötjük ki, hogy a szerelvények sebessége állandó, hanem $V$-t (a megállóknál töltött időt is beszámítva) átlagsebességnek tekintjük, továbbá a $t_1$ és $t_2$ időközöket is átlagértékként értelmezzük, a fentivel megegyező eredményt kapunk.