Feladat:	2015. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fleiner Tamás
Füzet:	2016/február, 68. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feltételes valószínűség, események, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/február: 2015. évi Kürschák matematikaverseny 1. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelölje $P_{k\mathrm{,}\ell }$ az $A$ vívó győzelmének valószínűségét a feladatban leírt állásnál, $p_{k\mathrm{,}\ell }$ pedig a kérdezett növekményt. A teljes valószínűség tétele miatt $P_{k\mathrm{,}\ell }=p\cdot P_{k-\mathrm{1,}\ell }+q\cdot P_{k\mathrm{,}\ell -1}$, amit átrendezve $p_{k\mathrm{,}\ell }=P_{k-\mathrm{1,}\ell }-P_{k\mathrm{,}\ell }=q\left(P_{k-\mathrm{1,}\ell }-P_{k\mathrm{,}\ell -1}\right)$ adódik. Feltételezhetjük, hogy $A$ és $B$ $29$ találatig vívják az asszót, hisz ez a győztes kilétét nem változtatja meg. Így $P_{k-\mathrm{1,}\ell }$ annak a valószínűsége, hogy a hátralévő $k+\ell$ találat közül $A$ legalább $k$ találatot szerez, míg $P_{k\mathrm{,}\ell -1}$ annak a valószínűsége, hogy a hátralévő $k+\ell$ találat közül $A$ legalább $k+1$ találatot szerez. Ezért a $p_{k\mathrm{,}\ell }=P_{k-\mathrm{1,}\ell }-P_{k\mathrm{,}\ell -1}$ különbség annak a valószínűsége, hogy $A$ a hátralevő $k+\ell$ lehetőségből pontosan $k$ találatot szerez, azaz $p_{k\mathrm{,}\ell }=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\ell }{k}\right)p^k{q}^{\ell +1}$.  $\square$