Feladat:	2015. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2016/január, 47 - 49. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén), Gyűjtőlencse
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/január: 2015. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A képen (5. ábra) látható, hogy a lencse a mérőszalagról egyenes állású, nagyított, látszólagos képet hoz létre. A képről két adat olvasható le: a lencsén belül (nagyítva) látható mérőszalagszakasz hossza (ezt jelöljük $d_1$-gyel) és az a távolság, amit a lencse kitakar a mérőszalagból (ez legyen $d_2$).   5. ábra   Készítsünk vázlatot az optikai elrendezésről (6. ábra)! A rajzon három sík látható: a lencse síkja, a mérőszalag síkja és a látszólagos kép síkja. Az átmérők közül a lencse átmérője ($d$) meg van adva, a $d_2$ átmérőt leolvastuk a képről, a látszólagos kép átmérője pedig $N{d}_1$, ahol $d_1$ a képről leolvasott méret és $N$ a nagyítás. A távolságok közül a $t$ tárgytávolság (a lencse és a mérőszalag távolsága) meg van adva, a $k$ képtávolság és az $\ell$ távolság (a lencse és a fényképezőgép távolsága) egyelőre ismeretlen.   6. ábra   A rajzon ábrázolt mennyiségek között egyszerű összefüggéseket írhatunk fel. A lencsetörvény alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{t}-\frac{1}{k}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $f$ a keresett fókusztávolság (a látszólagos képtávolság negatív, de $k$-t pozitív távolságként jelöltük). A nagyítás: $\begin{array}{c}{\displaystyle N=\frac{k}{t}\mathrm{,}}\end{array}$ a látószögek egyenlőségéből (hasonló háromszögek) pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{N{d}_1}{k+\ell }=\frac{d_2}{t+\ell }=\frac{d}{\ell }\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenletrendszert rendezve ($k$-t, $\ell$-et és $N$-et kiejtve): $\begin{array}{c}{\displaystyle f=\frac{td}{d_2-d_1}\mathrm{.}}\end{array}$ Mielőtt ebbe a kifejezésbe behelyettesítenénk a megadott és leolvasott adatokat, foglalkoznunk kell az adatok hibájával is! Nem véletlenül szerepel a szövegben $4\mathrm{,}00\text{cm}$ és $5\mathrm{,}0\text{cm}$. A lencse átmérőjét tolómérővel meg lehet mérni, így az tizedmilliméter (századcentiméter) pontossággal megadható. A lencse és a mérőszalag távolsága már nem mérhető ilyen pontosan, hiszen a lencse vastagsága sem nulla ‐ ezt az adatot már csak milliméter pontosan adja meg a feladat szövege. A legkritikusabb a $d_1$ és $d_2$ távolságok minél pontosabb leolvasása, mert a fókusztávolság képletében ezek különbsége szerepel. Gondos megfigyeléssel ezek az átmérők néhány tizedmilliméter pontossággal leolvashatók a képről. A megadott és leolvasott adatok hibájából már a hibaszámítás ismert szabályai szerint meghatározható a fókusztávolság relatív hibája: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta f}{f}=\frac{\Delta t}{t}+\frac{\Delta d}{d}+\frac{\Delta d_1+\Delta d_2}{d_2-d_1}\mathrm{.}}\end{array}$ A megadott és leolvasott adatok hibával: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle t}& {\displaystyle =5\pm 0\mathrm{,}05\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle d}& {\displaystyle =4\pm 0\mathrm{,}005\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle d_1}& {\displaystyle =3\mathrm{,}4\pm 0\mathrm{,}02\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle d_2}& {\displaystyle =4\mathrm{,}9\pm 0\mathrm{,}02\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ebből a numerikus eredmény: $f=13\mathrm{,}3\pm 0\mathrm{,}5\text{cm}$.   Megjegyzések. 1. A versenyzők egy része másképp gondolkozott, másféleképp oldotta meg a feladatot. Ezeknek a megoldásoknak a gondolatmenete a következő. A 7. ábra szerint a megadott adatok és a leolvasott $d_2$ ,,külső'' átmérő alapján hasonló háromszögek segítségével kifejezhető a lencse és a fényképezőgép $\ell$ távolsága: $\begin{array}{c}{\displaystyle \ell =\frac{td}{d_2-d}\mathrm{.}}\end{array}$   7. ábra   A 8. ábrán az látható, hogy a nagyított képen még éppen látható pontokból (a $d_1$ ,,belső'' átmérő két széléről) induló (és a lencsén megtörve a fényképezőgépbe jutó) fénysugarak olyanok, mintha egy képzeletbeli $P$ pontból indulnának. A $P$ pont lencsétől mért $p$ távolsága az előzőhöz hasonló módon kifejezhető: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{td}{d-d_1}\mathrm{.}}\end{array}$   8. ábra   A képzeletbeli $P$ pontból induló fénysugarak a lencsén megtörve éppen a fényképezőgépbe jutnak, így a lencsetörvény alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{\ell }\mathrm{,}}\end{array}$ amiből $l$ és $p$ behelyettesítésével és átrendezéssel a fókusztávolságra a már korábban levezetett eredményt kapjuk. 2. A versenyzők közül senki se foglalkozott a hibákkal, és a leolvasást is ,,nagyvonalúan'' végezték (a $d_2$ átmérőt legtöbben kereken $5$cm-nek, mások $4\mathrm{,}8$cm-nek vették). Egy $1$mm-es leolvasási hiba $1$cm-es hibát okoz a fókusztávolságban ‐ ennek ellenére az eredményt legtöbben 4-5 értékes jegy pontossággal adták meg. Így erre a feladatra ‐ bár 16-an lényegében helyesen megoldották ‐ senki se adott teljes értékű megoldást.