Feladat:	B.4730	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baran Zsuzsanna ,  Bodolai Előd ,  Cseh Kristóf ,  Döbröntei Dávid Bence ,  Imolay András ,  Kerekes Anna ,  Lajkó Kálmán ,  Polgár Márton ,  Schrettner Bálint ,  Varga-Umbrich Eszter
Füzet:	2016/január, 27 - 29. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Körök
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/szeptember: B.4730

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelölje $M$ a $k_1$ és $k_2$ körök közös belső érintőjének $X_1{Y}_1$ egyenesével való metszéspontját. A feltétel szerint ekkor $M$ rajta van az $X_2{Y}_2$ egyenesen is (1. ábra).   1. ábra   Vegyük észre, hogy az $M$ pont $k_1$ és $k_2$ körökre vonatkoztatott hatványa egyenlő: $\begin{array}{c}{\displaystyle M{X}_1\cdot M{Y}_1={ME}^2=M{X}_2\cdot M{Y}_2\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Most írjunk az $M$ pont köré $ME$ sugarú kört, legyen ez a $k$ kör. Azt fogjuk megmutatni, hogy az $X_1{X}_{2}E$ és $Y_1{Y}_{2}E$ körök centrálisa átmegy az $M$ ponton. Invertáljuk1 az $X_1{X}_{2}E$ kört a $k$ körre, mint alapkörre. Az inverzió definíciója és az (1) összefüggés miatt az $E$ pont képe önmaga, $X_1$ képe $Y_1$, $X_2$ képe pedig $Y_2$. E transzformáció ismert tulajdonsága, hogy az inverzió pólusán ($M$ pont) át nem menő kör képe a póluson át nem menő kör, tehát az $X_1{X}_{2}E$ kört $k$-ra invertálva az $Y_1{Y}_{2}E$ kört kapjuk. A következőkben szükségünk lesz egy segédtételre.   Segédtétel. Ha a $k$ kört az $O$ pólusú $\Omega$ alapkörre invertálva $k\text{'}$-t kapjuk, akkor $k$ és $k\text{'}$ centrálisa átmegy $O$-n.   Bizonyítás. $O$-ból húzzunk külső érintőket $k$-hoz, az érintési pontok legyenek $E_1$ és $E_2$. Az érintési pontok $F_1$ és $F_2$ képei ekkor az inverzió definíciója miatt az érintők egyenesein lesznek rajta. Ezeken az egyeneseken több pont képe nem lehet, tehát e két egyenes érinti a $k\text{'}$ kört $F_1$-ben és $F_2$-ben, így a $k$ és $k\text{'}$ körök középpontját összekötő egyenes átmegy $O$-n (2. ábra).   2. ábra   A segédtételt alkalmazva kijelenthetjük, hogy az $X_1{X}_{2}E$ és $Y_1{Y}_{2}E$ körök középpontjait összekötő egyenes (centrális) átmegy az $M$ ponton. Hasonlóképpen belátható, hogy $k$-ra invertálva az $X_1{Y}_{2}E$ kört az $X_2{Y}_{1}E$ kört kapjuk, tehát centrálisuk ugyancsak átmegy az $M$ ponton. Így beláttuk azt, hogy az $X_1{Y}_{2}E$ és $Y_1{Y}_{2}E$ körök centrálisa, valamint az $X_1{Y}_{2}E$ és $X_2{Y}_{1}E$ körök centrálisa abban az $M$ pontban metszi egymást, amelyik rajta van a $k_1$ és $k_2$ körök közös belső érintőjén.   Megjegyzés. A bizonyítás arra az esetre is érvényes, amikor a $k_1$ és $k_2$ belülről érintik egymást. 1Az I. 324. feladat az inverzió bemutatása volt prezentáció segítségével: http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=I324&l=hu.