A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A 2015 pont akkor alkot konvex -szöget, ha közülük semelyik 3 nem esik egy egyenesbe és mindegyikük rajta van a konvex burkuk határán. Az adott pontok közül semelyik három nem eshet egy egyenesbe, mert akkor a három kollineáris ponthoz egy tetszőleges negyediket választva négy olyan pontot kapnánk, amik nem alkotnak konvex négyszöget. Tegyük fel, hogy a pontok nem egy konvex -szög csúcsai. Mivel a pontok nem esnek egy egyenesre, ezért ekkor konvex burkuk, , egy konvex -szög valamely egészre, továbbá a pontok közül legalább egy belsejébe esik. Válasszuk ki egyik csúcsát (az ábrán ), és húzzuk be az ebből kiinduló darab átlót. Ezek -t darab háromszögre osztják, s e háromszögek teljesen lefedik -t. Ezért ha olyan pont a közül, mely belsejébe esik, akkor az átlók által meghatározott háromszög között van egy olyan (az ábrán ), amelyiknek a belsejébe esik. Ekkor viszont és az azt tartalmazó háromszög három csúcsa nem alkot konvex négyszöget. Ez az ellentmondás bizonyítja állításunkat.
|
|