Feladat:	B.4711	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Páli Petra
Füzet:	2016/január, 26. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Különleges függvények, Számsorozatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/április: B.4711

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Először belátjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f\left(\frac{k}{n}\right)+f\left(\frac{n-k}{n}\right)=\mathrm{1,}\text{minden }n\mathrm{,}k\in {\text{N}}^{+}\mathrm{,}0\le k\le n\text{ esetén.}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{4^{\frac{k}{n}}}{4^{\frac{k}{n}}+2}+\frac{4^{\frac{n-k}{n}}}{4^{\frac{n-k}{n}}+2}=\frac{4^{\frac{k}{n}}}{4^{\frac{k}{n}}+2}+\frac{4^{1-\frac{k}{n}}}{4^{1-\frac{k}{n}}+2}=\frac{4^{\frac{k}{n}}}{4^{\frac{k}{n}}+2}+\frac{\frac{4}{4^{\frac{k}{n}}}}{\frac{4}{4^{\frac{k}{n}}}+2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{4^{\frac{k}{n}}}{4^{\frac{k}{n}}+2}+\frac{4}{4+2\cdot 4^{\frac{k}{n}}}=\frac{4^{\frac{k}{n}}}{4^{\frac{k}{n}}+2}+\frac{2}{4^{\frac{k}{n}}+2}=1.}\hfill \end{array}}$ (Természetesen tetszőleges valós $x$-re bizonyítható $f\left(x\right)+f\left(1-x\right)=1$. A megoldáshoz viszont elegendő a fenti megfontolás is.) Most a megoldás befejezéséhez képezzünk párokat a $2016$ függvényértékből: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle f\left(0/2015\right)+f\left(2015/2015\right)=f\left(1/2015\right)+f\left(2014/2015\right)=\text{...}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =f\left(1007/2015\right)+f\left(1008/2015\right)=1.}\hfill \end{array}}$ Mivel mindegyik párban az összeg $1$, a teljes összeg $1008$ lesz.