Feladat:	B.4700	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kasó Ferenc
Füzet:	2016/január, 25 - 26. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletek, Irracionális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/március: B.4700

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Mivel $1+\text{cos}{}^{2}x>\text{cos}{}^{2}x$ nemnegatív számok, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}\right|>|\text{cos}{}^{2}x|\mathrm{,}}\end{array}$ és ennek következtében $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}-\text{cos}x>\mathrm{0,}\text{valamint}\sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}+\text{cos}x>0.}\end{array}$ Ekvivalens átalakítás tehát, ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a pozitív $\sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}+\text{cos}x$ kifejezéssel. Ekkor az egyenlet: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(\sqrt[]{1+\text{sin}{}^{2}x}-\text{sin}x\right)\left(\sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}-\text{cos}x\right)\left(\sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}+\text{cos}x\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\left(\sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}+\text{cos}x\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(\sqrt[]{1+\text{sin}{}^{2}x}-\text{sin}x\right)\left(1+\text{cos}{}^{2}x-\text{cos}{}^{2}x\right)=\left(\sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}+\text{cos}x\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{1+\text{sin}{}^{2}x}-\text{sin}x=\sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}+\text{cos}x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezt rendezve és négyzetre emelve már kaphatunk hamis gyököket is: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{1+\text{sin}{}^{2}x}-\sqrt[]{1+\text{cos}{}^{2}x}=\text{sin}x+\text{cos}x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1+\text{sin}{}^{2}x+1+\text{cos}{}^{2}x-2\sqrt[]{\left(1+\text{sin}{}^{2}x\right)\left(1+\text{cos}{}^{2}x\right)}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x+2\text{sin}x\text{cos}x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3-2\sqrt[]{1+\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x+\text{sin}{}^{2}x\text{cos}{}^{2}x}=1+2\text{sin}x\text{cos}x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Kettővel osztva és rendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1-\text{sin}x\text{cos}x=\sqrt[]{2+\text{sin}{}^{2}x\text{cos}{}^{2}x}\mathrm{.}}\end{array}$ Most ismét négyzetre emelve és rendezve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 1-2\text{sin}x\text{cos}x+\text{sin}{}^{2}x\text{cos}{}^{2}x}& {\displaystyle =2+\text{sin}{}^{2}x\text{cos}{}^{2}x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -2\text{sin}x\text{cos}x}& {\displaystyle =\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{sin}2x}& {\displaystyle =-1.}\hfill \end{array}}$ Innen már adódnak a megoldások: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x=\frac{3\pi }{2}+k\cdot 2\pi \mathrm{,}{x}_1=\frac{3\pi }{4}+k\cdot 2\pi \mathrm{,}{x}_2=\frac{7\pi }{4}+k\cdot 2\pi \mathrm{,}k\in \text{Z}\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét megoldást ellenőrizni kell a négyzetre emelések miatt: ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle x_1}& {\displaystyle =\frac{3\pi }{4}+k\cdot 2\pi \mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \left(\sqrt[]{1+\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)\left(\sqrt[]{1+\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\mathrm{1,}}\\ \hfill {\displaystyle x_2}& {\displaystyle =\frac{7\pi }{4}+k\cdot 2\pi \mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \left(\sqrt[]{1+\frac{1}{2}}+\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)\left(\sqrt[]{1+\frac{1}{2}}-\frac{\sqrt[]{2}}{2}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1.}\end{array}}$ Tehát $x=\frac{3\pi }{4}+k\cdot \pi$, $k\in \text{Z}$.