Feladat:	B.4689	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Khayouti Sára
Füzet:	2016/január, 22. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gúlák, Szabályos sokszögek geometriája, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2015/február: B.4689

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Megmutatjuk, hogy van a feltételeknek megfelelő gúla. ,,Fordítva'' fogunk eljárni, nem a gúlához keresünk jó metszősíkot, hanem egy szabályos hatszöghöz konstruálunk jó gúlát. Vegyünk fel a térben egy $\text{S}$ síkot és abban egy $ABCDEF$ szabályos hatszöget, továbbá legyen a hatszög középpontján átmenő, $\text{S}$-re merőleges egyenesen $P$ egy $\text{S}$-re nem illeszkedő pont. Legyen $\text{S}\text{'}$ egy $AB$-re illeszkedő, $\text{S}$-től különböző olyan sík, mely által meghatározott két féltér közül az egyik tartalmazza az $ABCDEF$ hatszöget, és metszi a $P$-ből induló $PC$, $PD$, $PE$ és $PF$ félegyenesek mindegyikét, rendre a $C\text{'}$, $D\text{'}$, $E\text{'}$ és $F\text{'}$ pontokban. Ilyen sík nyilván végtelen sok létezik, úgy kaphatjuk meg őket, hogy $\text{S}$-et az $AB$ egyenes körül megfelelő irányban forgatjuk (lásd az ábrát).     Az $AF\text{'}$ és $BC\text{'}$ egyenesek definíciójukból következően az $AB$ szakasz $\text{M}$ felezőmerőleges síkjára szimmetrikusan helyezkednek el. Mivel $F\text{'}$ nyilván messzebb van $\text{M}$-től, mint $A$ (hiszen már $F$ is messzebb van $\text{M}$-től, mint $A$), ezért az $F\text{'}A$ egyenes nem párhuzamos $\text{M}$-mel. Legyen $G=\text{M}\cap F\text{'}A$. Ekkor a szimmetria miatt a $C\text{'}B$ egyenes is átmegy $G$-n. Mivel $F\text{'}A$ benne van a $C\text{'}D\text{'}E\text{'}F\text{'}$ síkban, ezért $G$ is. Ekkor a $GC\text{'}D\text{'}E\text{'}F\text{'}$ ötszög alapú, $P$ csúcsú gúla eleget tesz a feltételeknek, mert az $\text{S}$ síkkal vett metszete az $ABCDEF$ szabályos hatszög.