Feladat:	4889. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jánosik Áron
Füzet:	2017/március, 183 - 184. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb ellenállás-kapcsolások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/december: 4889. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Rajzoljuk fel az ikozaédert (1. ábra), és vizsgáljuk az eredő ellenállást az $A$ és $B$ pontok között.   1. ábra   A sötétebben jelölt ($C$ és $D$) ötszögek 5-5 csúcsa (külön-külön) azonos potenciálú, emiatt az éleik (összesen 10 él) mentén nem folyik áram. Így ezeket a csúcsokat egy-egy pontba ($C$ és $D$) ,,húzhatjuk össze'', és az eredő ellenállást ebben az egyszerű, soros kapcsolásban vizsgálhatjuk. A 2. ábrán a vékony vonalak az ellenállás-huzalokat, a vastag vonalak pedig a rövidre zárást jelölik. A bal és a jobb oldali, párhuzamosan kapcsolt öt-öt ellenállás eredője $R_1=\frac{1}{5}R$, a középső tíz ellenállás eredő ellenállása pedig $R_2=\frac{1}{10}R$. Így az egész kapcsolás eredő ellenállása: $\begin{array}{c}{\displaystyle R_{\text{eredő}}=2\cdot R_1+R_2=2\cdot \frac{1}{5}R+\frac{1}{10}R=\frac{R}{2}\mathrm{.}}\end{array}$   2. ábra   $b)$ Az ikozaéder $A$ és $B$ pontja közé $U$ feszültséget kapcsolva a bal és a jobb oldali párhuzamos kapcsolásokra $\frac{2}{5}U$, a középső részre $\frac{1}{5}U$ feszültség jut, hiszen soros kapcsolásban a feszültségek arányosak az ellenállások nagyságával. Így a bal és a jobb oldali, összesen tíz darab ellenállás mindegyikére $\begin{array}{c}{\displaystyle P_1=\frac{{\left(\frac{2}{5}U\right)}^2}{R}=\frac{4}{25}\frac{U^2}{R}}\end{array}$ teljesítmény jut. A középső tíz ellenállás mindegyikének teljesítménye: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_2=\frac{{\left(\frac{1}{5}U\right)}^2}{R}=\frac{1}{25}\frac{U^2}{R}\mathrm{.}}\end{array}$ Az 1. ábrán $C$-vel és $D$-vel jelölt ötszögek oldaléleit alkotó tíz darab ellenálláson pedig nulla a teljesítmény, mert nem folyik rajtuk áram. Az összteljesítmény: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_{\text{összes}}=\frac{U^2}{R_{\text{eredő}}}=\frac{2U^2}{R}\mathrm{,}}\end{array}$ ami ‐ természetesen ‐ megegyezik az egyes ellenállások teljesítményének összegével: $\begin{array}{c}{\displaystyle 5\cdot P_1+10\cdot P_2+5\cdot P_1+10\cdot 0=\left(5\cdot \frac{4}{25}+10\cdot \frac{1}{25}+5\cdot \frac{4}{25}\right)\frac{U^2}{R}=\frac{2U^2}{R}\mathrm{.}}\end{array}$