Feladat:	4885. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Molnár Mátyás
Füzet:	2017/március, 181 - 183. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb merev test síkmozgások, Mozgásegyenletek gyorsuló koordináta-rendszerekben, Egyenesvonalú mozgás lejtőn
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/december: 4885. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Mivel a felső doboz nem mozdul el az alsón, a két dobozt tekinthetjük egyetlen, $m+M$ tömegű testnek, amely gyorsulva mozog a lejtő mentén lefelé. A két doboz rendszerére a lejtő síkjával párhuzamos irányban hat a nehézségi erő lejtővel párhuzamos komponense, valamint a súrlódási erő. A mozgásegyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(m+M\right)g\text{sin}\alpha -\mu \left(m+M\right)g\text{cos}\alpha =\left(m+M\right)a\mathrm{,}}\end{array}$ tehát a gyorsulása: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)g\mathrm{.}}\end{array}$ (A feladat szövege szerint a két elengedett doboz lecsúszik a lejtőn, tehát $a>0$, vagyis fennáll, hogy $\mu <\text{tg}\alpha$.) Írjuk fel most a felső dobozra a Newton-féle mozgásegyenlet lejtővel párhuzamos komponensét! A két doboz között fellépő súrlódási erőt $S$-sel jelölve és felhasználva a gyorsulás fentebb kiszámított értékét, ezt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle mg\text{sin}\alpha -S=mg\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)\mathrm{,}}\end{array}$ ahonnan a súrlódási erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\mu mg\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. Jelöljük a két doboz közötti súrlódási tényezőt ${\mu }^{*}$-gal! Mivel a felső dobozt az alsóhoz szorító erő $N=mg\text{cos}\alpha$, továbbá tudjuk, hogy a felső doboz nem csúszik az alsón, így fennáll $S<{\mu }^{*}N\mathrm{,}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle {\mu }^{*}>\frac{S}{N}=\frac{\mu mg\text{cos}\alpha }{mg\text{cos}\alpha }=\mu \mathrm{.}}\end{array}$ A feladat szövegében szereplő ,,elegendően nagy'' súrlódás tehát azt jelenti, hogy a két doboz közötti súrlódási együtthatónak nagyobbnak kell lennie, mint az alsó doboz és a lejtő közötti súrlódás $\mu$ együtthatója.   Foglalkozzunk most a felső dobozra ható forgatónyomatékokkal! Amíg a felső doboz nem dől fel, addig a rá ható erők eredő forgatónyomatéka (a doboz tömegközéppontjára vonatkoztatva) zérus: $\begin{array}{c}{\displaystyle S\cdot \frac{h}{2}-N\cdot x=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahol $x$ a tartóerő hatásvonalának a felső doboz tömegközéppontjától mért távolsága. Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{S}{N}\cdot \frac{h}{2}=\frac{\mu mg\text{cos}\alpha }{mg\text{cos}\alpha }\cdot \frac{h}{2}=\mu \frac{h}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez az $x$ távolság azonban nem lehet nagyobb, mint a doboz szélességének fele: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\le \frac{d}{2}\mathrm{,}\text{vagyis}\mu \le \frac{d}{h}\mathrm{.}}\end{array}$   II. megoldás. Ha az $M$ tömegű doboz a lejtőn nem csúszna, a felső doboz fel nem borulásának feltétele az lenne, hogy a nehézségi erő vektorának hatásvonala az alátámasztási felületen haladjon át. Az alsó doboz gyorsulása miatt azonban ez a feltétel úgy módosul, hogy nehézségi erő mellett a gyorsuló vonatkoztatási rendszerben fellépő (látszólagos) tehetetlenségi erőt is figyelembe kell vennünk. Ez az erő $ma$ nagyságú, ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\left(\text{sin}\alpha -\mu \text{cos}\alpha \right)g}\end{array}$ a két doboz közös gyorsulása, és a tehetetlenségi erő hatásvonala (a nehézségi erőéhez hasonlóan) a felső doboz tömegközéppontján halad keresztül.     A felső dobozra ható nehézségi erő és tehetetlenségi erő $F$ eredője a lejtő irányában $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1=mg\text{sin}\alpha -ma=\mu mg\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\end{array}$ a lejtőre merőlegesen pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle F_2=mg\text{cos}\alpha }\end{array}$ nagyságú komponenssel rendelkezik. Ez az erő a felső doboz $h$ hosszúságú oldallapjával $\gamma$ szöget zár be, ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\gamma =\frac{F_1}{F_2}=\frac{\mu mg\text{cos}\alpha }{mg\text{cos}\alpha }=\mu \mathrm{.}}\end{array}$ Másrészt a felső doboz tömegközéppontját a bal alsó élével összekötó egyenes a $h$ hosszúságú oldallappal $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta =\text{arctg}\frac{d}{h}}\end{array}$ szöget zár be. A felső doboz akkor nem borul fel, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \gamma \le \beta \mathrm{,}\text{vagyis}\text{tg}\gamma =\mu \le \text{tg}\beta =\frac{d}{h}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát annak szükséges feltétele, hogy a felső doboz ne boruljon fel: $d\ge \mu h$.