Feladat:	4868. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kondákor Márk
Füzet:	2017/március, 178 - 179. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Gázok egyéb állapotváltozása
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/október: 4868. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Az egyenletet átalakítva a térfogat és a nyomás közötti függvénykapcsolat: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(V\right)=p_0\left(1-\frac{V}{V_0}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyesített gáztörvény alapján a gáz $T$ hőmérséklete akkor lesz a legnagyobb, ha a $pV$ szorzat a maximális értékét veszi fel. A fenti $p\left(V\right)$ függvénykapcsolatot ismerve vezessük be az $f\left(V\right)$ függvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(V\right)=pV=p_{0}V-\frac{p_0}{V_0}{V}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek a függvénynek a képe egy fordított állású parabola, így $f\left(V\right)$-nek pontosan egy globális maximuma van. Ennek értéke az ismert összefüggés alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle V=-\frac{b}{2a}=-\frac{p_0}{2\cdot \left(-\frac{p_0}{V_0}\right)}=\frac{V_0}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ és innen a nyomás értéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(V_0\right)=p_0-p_0\frac{\left(V_0/2\right)}{V_0}=\frac{p_0}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A gáz anyagmennyisége: $\begin{array}{c}{\displaystyle n=\frac{N}{N_{\text{A}}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $N_{\text{A}}$ az Avogadro-szám. Az univerzális gáztörvényből megkapható a gáz hőmérséklete: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{pV}{nR}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből kifejezhető az $N$ molekulából álló (a feladatban megadott folyamaton átmenő) ideális gáz maximális hőmérséklete: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{\text{max}}=\frac{\left(\frac{p_0}{2}\right)\cdot \left(\frac{V_0}{2}\right)}{nR}=\frac{N_{\text{A}}{p}_0{V}_0}{4NR}\mathrm{.}}\end{array}$