Feladat:	4855. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2017/március, 177 - 178. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Exponenciális bomlástörvény
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/május: 4855. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. $a)$ Mivel a 13-as tömegszámú nitrogénizotóp felezési ideje $T=10$ perc, így $N_0={10}^{10}$ darab atomból $t=20$ perc elteltével a bomlási törvény szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle N\left(t\right)=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}=0\mathrm{,}25N_0}\end{array}$ bomlatlan mag marad, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta N=N_0-0\mathrm{,}25N_0=0\mathrm{,}75N_0=7\mathrm{,}5\cdot {10}^9}\end{array}$ darab atommag bomlik el. $b)$ Az exponenciális bomlási törvényt a feladat első részében azért alkalmazhattuk, mert ott nagyon sok atommagot vizsgáltunk egyszerre. Kis számú atommag esetén a bomlások számának ,,szórása'' viszonylag nagy, így az elbomlott atommagok számát nem tudjuk pontosan megadni, csupán a különböző lehetőségek valószínűségét számíthatjuk ki. Egy bizonyos atommag $t=2T$ idő alatt $p=\frac{3}{4}$ eséllyel bomlik el és $1-p=\frac{1}{4}$ valószínűséggel marad bomlatlan állapotban. Több ‐ egymástól függetlennek tekinthető ‐ bomlásnál a binomiális eloszlás adja meg annak valószínűségét, hogy $N$ atommagból a megadott idő alatt éppen $k$ darab bomlik el: $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(k\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{k}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{N-k}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{k}\right)\frac{3^k}{4^4}\left(k=\mathrm{0,1,2,3,4}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A különböző számú bomlások valószínűsége: $\begin{array}{c}{\displaystyle P\left(4\right)\approx 32\%\mathrm{,}P\left(3\right)\approx 42\%\mathrm{,}P\left(2\right)\approx 21\%\mathrm{,}P\left(1\right)\approx 5\%\mathrm{,}P\left(0\right)<1\%\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy ilyen kevés atommagnál a bomlások számát nem tudjuk határozottan megmondani, csupán annyit állíthatunk, hogy a 4 atommagból ‐ feltehetően ‐ legalább 2 elbomlik, de annak is van egy kicsi esélye, hogy csak egy bomlás, vagy akár egyetlen egy se következik be.